数学教案－不等式证明一（比较法） 目的：以不等式的等价命题为依据，提醒不等式的常用证明方法之一——比拟法，要求学生能教娴熟地运用作差、作商比拟法证明不等式。 过程： 一、复习： 1．不等式的一个等价命题 2．比拟法之一（作差法）步骤：作差——变形——推断——结论 二、作差法：（P13—14） 1． 求证： ∴x2 + 3 3x 2． 已知 a, b, m 都是正数，并且 a b，求证： 证： ∵a,b,m 都是正数，并且 ab，∴b + m 0 , b - a 0 ∴ 即： 变式：若 a b，结果会怎样？若没有“a b”这个条件，应如何推断？ 3． 已知 a, b 都是正数，并且 a b，求证：a5 + b5 a2b3 + a3b2 证：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) = a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3) = (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) ∵a, b 都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 0 又∵a b，∴(a - b)2 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) 0 即：a5 + b5 a2b3 + a3b2 4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走；有一半路程乙以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走，假如 m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？ 解：设从动身地到指定地点的路程为 S， 甲乙两人走完全程所需时间分别是 t1, t2， 则： 可得： ∴ ∵S, m, n 都是正数，且 m n，∴t1 - t2 0 即：t1 t2 从而：甲先到到达指定地点。 变式：若 m = n，结果会怎样？ 三、作商法 5． 设 a, b R+，求证： 证：作商： 当 a = b 时， 当 a b 0 时， 当 b a 0 时， ∴ （其余局部布置作业） 作商法步骤与作差法同，不过最终是与 1 比拟。 四、小结：作差、作商 五、作业： P15 练习 P18 习题 6.3 1—4
