高中数学 1.1.2弧度制（结）新人教A版必修4-新人教A版高中必修4数学素材VIP专享

1.1.2 弧度制(结)重点：用弧度制表示各种角以及弧度制与角度制之间的换算.难点：对弧度制的引入.一、角度制与弧度制的转化同一个角，除零角之外，用“度”表示与用“弧度”表示是不同的数量.“度”不可省略，“弧度”即“rad”可省略.其换算关系以 π=180°为转化点.例 1 (1)把 112°30′化为弧度；(2)把－化为度．【分析】 先把“分”、“秒”化为“度”，再利用 1°＝ rad，1 rad＝()°进行相应地转化．【解】 (1)112°30′＝112.5°＝112.5×＝×＝；(2)－＝－(×)°＝－75°.【点评】以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少 π 的形式.如无特殊要求，不必把 π 写成小数.二、用弧度表示角的集合角度制中的度、分、秒是六十进制，弧度制是十进制，因此弧度制使用起来比角度制方便.例 2（1）用弧度表示顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界，如下图）.（2）把-1480°写成 α+2kπ（k∈Z）的形式，其中 0≤α<2π.【思路点拨】先用弧度制表示这个角（临界角），然后结合图形或者范围写出该角.【解】 (1)135°＝135×＝，225°可以看成是与－135°终边相同的角，而－135°＝－，∴阴影部分角的集合为：{θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}．(2)∵－1480°＝－＝－＝－10π＋，又 0≤<2π，∴－1480°＝－2×5π＝－10π.【思维总结】在表示角的集合时，一定使用统一制度，只能用角度或弧度制中的一种，不能混用.三、 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式在弧度制下，当圆心角为弧度时，弧长公式、扇形面积公式有更简单的形式，更利于计算. 例 3 已知一扇形的圆心角是 72°，半径等于 20 cm，求扇形的面积和弧长.【思维流程】 →【解】 ∵72°＝72×＝ (rad)，∴l＝αr＝×20＝8π(cm)．∴S＝lr＝×8π×20＝80π(cm2)．【思维总结】弧度制下与角度制下的弧长公式、扇形面积公式是等价的.