高中数学 1.1.3 解三角形的进一步讨论教学案 新人教A版必修1

备课资料 解三角的进一步讨论一、正、余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理,同学们已经开始熟悉,在解三角形的问题中常会用到它,其实,在涉及到三角形的其他问题中,也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换,即利用它们可以把边的关系转化为角的关系,也可以把角的关系转化为边的关系,从而使许多问题得以解决. 【例 1】已知 A、B 为△ABC 的边,A、B 分别是 A、B 的对角,且求的值.解：∵,∴.又 (这是角的关系)，∴ (这是边的关系).于是,由合比定理得.【例 2】已知△ABC 中,三边 A、B、C 所对的角分别是 A、B、C,且 a、b、c 成等差数列.求证:sinA+sinC=2sinB.证明:∵a、b、c 成等差数列，∴a+c=2B(这是边的关系).①又,∴,②.③将②③代入①,得=2B.整理得 sinA+sinC=2sinB(这是角的关系).二、正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多繁杂的运算,从而使问题较轻松地获得解决,现举例说明如下:【例 3】求 sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值.解：原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°,∵20°+10°+150°=180°,∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角.设这三个内角所对的边依次是 A、B、C,由余弦定理得 a2+b2-2abcos150°=C2.(*)而由正弦定理知 A=2Rsin20°,B=2Rsin10°,C=2Rsin150°,代入(*)式得 sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°=.∴原式=.三、构造正三角 通常，我们使用标尺作正三角形．以标尺作正三角形，只需相异两点 A、B，再配合工具即可．分别以 A、B 点为圆心，AB 长为半径作圆，两圆相交于 C 点，△ABC 就是正三角形了．因为，圆 A 中，AB=AC ( 半径)；而且圆 B 中，BA=BC(半径)，所以 AB=BA=AC．(参见上图)如果没了圆规，我们要如何作出正三角形呢？再者连标尺也没了，那么万能的双手又要如何作出正三角形呢？这时我们可以考虑折纸来协助完成．取适当大小的矩形纸张，先对折，取得一边的中垂线；再以 A 点为基点，将此边向内翻折，并使得顶点落在中垂线上B 点；最后再将 B 点和 A、C 点连成三角形(参见右图)，就是正三角形了．因为，AC=AB，又B 点在中垂线上，所以，BA=BC，因此，AB=BC=CA．