导数的几何意义导学案 学习目标1
了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2
理解曲线的切线的概念;3
通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题
学习重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义
学习难点：导数的几何意义
知识链接一、自主学习(一)平均变化率、割线的斜率(二)瞬时速度、导数我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢
二、合作探究 (一)曲线的切线及切线的斜率如图 3
1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么
我们发现,当点沿着曲线无限接近点即时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线
问题: (1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系
(2)切线的斜率为多少
1-2容易知道,割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点时,无限趋近于切线的斜率,即说明: (1)设切线的倾斜角为,那么当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率
这个概念: ① 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ② 切线斜率的本质—函数在处的导数
(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解
如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多
(二)导数的几何意义函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,即说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:① 求出点的坐标;② 求出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率;③ 利用点斜式求切线方程
(三)导函数由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当 变化时,便是 的一个函数,我们叫它为的导函数
记作:或,即
注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数
(四)函数在点处的导数、导函数、导数之
