3．1．3 空间向量的数量积一、学习目标掌握空间向量的夹角、空间向量相互垂直、异面直线、异面直线所成的角、数量积等概念，能运用空间向量的数量积判断空间向量的共线与垂直．二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1．若，且，则与的夹角为( )A．30°B．60°C．120°D．150°2．已知，则( )A．22B．48C．D．323．在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3．则( )( )A．1B．3C．0D．－34．设 A、B、C、D 是空间不共面的四点，且满足，则△BCD 是( )A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定(二)填空题5．已知，则与的夹角为______．6．已知空间四边形 ABCD，则______.7．已知直线 a、b 是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且 AB＝2，CD＝1，则直线 a 与 b 所成的角是______．8．已知平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱长都等于 1，且两两夹角是 60°，则对角线 AC1的长是______．9．下列命题中：(1)则＝0 或＝0；(2) ；(4)若与均不为，则它们必垂直．其中真命题的序号是______．(三)解答题10．如图，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求 OA 与 BC 夹角的余弦值．11．如图，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 a，点 E、F、G 分别是AB、AD、DC 的中点，求下列向量的数量积．(1)；(2)；(3)；(4)12．如图，已知平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱AA1长为 b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°．(1)求 AC1的长；(2)证明：AC1⊥BD；(3)求直线 BD1与 AC 所成角的余弦值．三、自我评价完成时间成功率札记参考答案 3．1．3 空间向量的数量积1．C 2．A 3．D 4．B 5． 6．0 7．60° 8． 9．(4)10．解：∵∴＝．∴OA 与 BC 夹角的余弦值．11．解：(1)∵；(2)；(3)；(4）．12．解：(1) ＝＋2a·bcos120°＝(2)＝，，即 AC1BD．(3)＝＝，∴．∵＝0－a2＋abcos120°＋a2＋abcos120°＝－ab，又∵异面直线所成角的范围为(0，90°]，∴直线 BD1与 AC 所成角的余弦值为．
