高中数学 3.3.3点到直线的距离和两条平行直线间的距离学案 新人教A版必修2

3.3.3点到直线的距离【教学目标】1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.【重点难点】教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.【教学过程】导入新课思路 1.点 P(0,5)到直线 y=2x 的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的坐标为(x0,y0),直线 l 的方程是 Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题.思路 2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图 1,已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0，求点 P 到直线 l 的距离(为使结论具有一般性，我们假设 A、B≠0).图 1新知探究提出问题① 已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0，求点 P 到直线 l 的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?② 前面我们是在 A、B 均不为零的假设下推导出公式的，若 A、B 中有一个为零，公式是否仍然成立？③ 回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离)活动：① 请学生观察上面三种特殊情形中的结论:(ⅰ)x0=0,y0=0 时，d=；(ⅱ)x0≠0,y0=0 时，d=；(ⅲ)x0=0,y0≠0 时，d=.观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点 P(x0,y0)，d=?学生应能得到猜想：d=.启发诱导：当点 P 不在特殊 位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点 P 到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)证明：设过点 P 且与直线 l 平行的直线 l1的方程为 Ax+By+C1=0，令 y=0，得 P′(,0).∴P′N=. (*) P 在直线 l1:Ax+By+C1=0 上,∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0.代入(*)得|P′N|=即 d=,. ② 可以验证，当 A=0 或 B=0 时，上述公式也成立.③ 引导学生得到两条平行线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0 的距离 d=.证明：设 P0(x0,y0)是直线 Ax+By+C2=0 上任一点，则点 P0到直线 Ax+By+C1=0 的距离 为d=.又 Ax0+By0+C2=0,即 Ax0+By0=-C2，∴d=.讨论结果：①已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0，求点 P 到直线 l 的距离公式 为 d=.② 当 A=0 或 B=0 时，上...