高中数学 4.1.2圆的一般方程学案 新人教A版必修2

圆的一般方程1．圆的一般方程的特征2．与标准方程的互化3．用待定系数法求圆的方程4．求与圆有关的点的轨迹例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.（1）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 9 = 0（2）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）将原方程变为 x2 + y2 – x + 3y += 0D = –1，E =3，F =. D2 + E2 – 4F = 1＞0∴此方程表示圆，圆心（，），半径 r =.（2）将原方程化为x2 + y2 – x + 3y += 0D = –1，E =3，F =.D2 + E2 – 4F = –1＜0∴此方程不表示圆.例 2 求过三点 A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于 D、E、F 的三元一次方程组：即解此方程组，可得：D= –8，E=6，F = 0∴所求圆的方程为：x2 + y2 – 8x + 6y = 0；.得圆心坐标为(4，–3).或将 x2 + y2 – 8x + 6y = 0 左边配方化为圆的标准方程，(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径 r = 5，圆心坐标为(4，–3).例 3 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4，3)，端点 A 在圆上(x + 1)2 + y2 = 4 运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.解：设点 M 的坐标是(x，y)，点 A 的坐标是(x0，y0)由于点 B 的坐标是(4，3)且 M 是线段AB 中重点，所以，①于是有 x0 = 2x – 4，y0 = 2y – 3因为点 A 在圆(x + 1)2 + y2 = 4 上运动，所以点 A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4，即 (x0 + 1)2 + y02 = 4 ②把①代入②，得(2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4，整理得所以，点 M 的轨迹是以为圆心，半径长为 1 的圆.经典习题MAxyOB例 1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.（1）x2 + y2 + x + 1 = 0；（2）x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a≠0)；（3）2x2 + 2y2 + 2ax – 2ay = 0 (a≠0).【解析】（1）因为 D ＝ 1，E ＝ 0，F ＝ 1，所以 D2 + E2 – 4F＜0 方程（1）不...