分类讨论求极限例 已知数列、都是由正数组成的等比数列，公比分别为，其中，且，，设，为数列的前 项和，求
（1997 年全国高考试题，理科难度 0
分两种情况讨论；（1）当时， ，故，∴（2）当时， ，∴ 用心 爱心 专心
说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法．自变量趋向无穷时函数的极限例 求下列极限：（1）（2）分析：第（1）题中，当 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“”型，变形的一般方法是分子、分母同除以 x 的最高次幂，再应用极限的运算法则．第（2）题中，当时，分式与都趋向于∞，这种形式叫“∞－∞”型，变形的一般方法是先通分，变成“”型或“”型，再求极限．解：（1）（2）说明：“”型的式子求极限类似于数列极限的求法．无穷减无穷型极限求解例 求极限：用心 爱心 专心（1）（2）分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限．解：（1）原式（2）原式说明：当时，，因此．利用运算法则求极限 例 计算下列极限： （1）； （2）
（1992 年全国高考试题，文科难度 0
63） 解： （1）原式
用心 爱心 专心 （2）原式
说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的： （1）原式 （2）原式用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限例 设，求．分析：把用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得．解：或：逆用等比数列求和公式：原式用心 爱心 专心说明：要注意 p 是与 n 无关的正整数，不是无限项，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定
