高中数学 柯西不等式学案 新人教A版选修4

§3.1.3 柯西不等式☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题奎屯王新敞新疆☻知识情景：1. 柯西主要贡献简介： 柯西（Cauchy），法国人，生于 1789 年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定 了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值 定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式： 若 , , ,a b c dR， 则 . 当且仅当 时, 等号成立. 变式 10. 若 , , ,a b c dR，则||2222bdacdcba或bdacdcba2222； 变式 20. 若 , , ,a b c dR，则222222()()abcdacbd ； 变式 30.（三角形不等式）设332211,,,,,yxyxyx为任意实数，则： 222212122323()()()()xxyyxxyy3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于 1 的自然数，,iia bR( i1,2,…,n )， 则： . 当且仅当 时, 等号成立. (若0ia时，约定0ib， i1,2,…,n ). 变式 10. 设,0(1,2,, ),iiaR bin 则：iiniiibaba212)( . 当且仅当 时, 等号成立. 变式 20. 设0(1,2,, ),iia bin  则：iiiniiibaaba21)(. 当且仅当nbbb21时,等号成立. 变式 30. (积分形式)设)(xf与)(xg都在],[ba可积，用心 爱心 专心1 则dxxgdxxfdxxgxfbababa)()()()(222， 当且仅当)()(xgtxf时,等号成立. 如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！ ☆ 柯西不等式的应用： 例 1. 已知实数 , ,a b c ,d 满足3abcd   ， 22222365abcd. 试求a 的最值 例 2 在实数集内 解方程22294862439xyzxyy 例 3 设 P 是三角形 ABC 内的一点， , ,x y z 是 p 到三边 , ,a b c 的距离， R 是 ABC外接圆 的半径， 证明22212xyzabcR 用心 爱心 专心2例 4 (证明恒等式) 已知,11122abba 求证：122 ba。例 5 (证明不等式)设,121nnaaaa 求证:011111113221...