高中数学 椭圆基本性质学案 新人教版选修2-1-新人教版高二选修2-1数学学案

椭圆的性质 【学习目标】1.掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质.2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.【要点梳理】要点一、椭圆的简单几何性质我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上 所有的点都位于直线 x=±a 和 y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.椭圆的对称性对于椭圆标准方程，把 x 换成―x，或把 y 换成―y，或把 x、y 同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。椭圆的顶点① 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。② 椭 圆（ a ＞ b ＞ 0 ） 与 坐 标 轴 的 四 个 交 点 即 为 椭 圆 的 四 个 顶 点 ， 坐 标 分 别 为A1（―a，0），A2（a ，0 ），B1（0，―b），B2（0，b）。③ 线段 A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的离心率1① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 e 表示，记作。② 因为 a＞c＞0，所以 e 的取值范围是 0＜e＜1。e 越接近 1，则 c 就越接近 a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于 0，c 就越接近 0，从而 b 越接近于 a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当 a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x2+y2=a2。要点诠释：椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：（1），，；（2），，；（3）,，；要点二、椭圆标准方程中的三个量 a、b、c 的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且 a2=b2+c2。可借助下图帮助记忆： a、b、c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边，b、c 为两条直角边。和 a、b、c 有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线 段、、， 有 关 角() 结 合 起 来 ， 建 立、2之间的关系. 要点三、椭圆两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于 x 轴、y 轴和原点对称顶点，，轴长轴...