高中数学 第2章 函数 4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1 函数的奇偶性学案（含解析）北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学学案

§4 函数的奇偶性与简单的幂函数4.1 函数的奇偶性学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数奇偶性的定义．(重点)2．掌握函数奇偶性的判断和证明方法．(重点)3．会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．(难点)1.借助奇偶性的特征的学习，培养直观想象素养．2．通过函数奇偶性的判断和证明，培养逻辑推理素养．1．奇(偶)函数的定义奇偶性奇函数偶函数前提设函数 f 的定义域是 A，如果对任意的 x∈A 时，有－ x ∈ A 条件f ( － x ) ＝－ f ( x ) f ( － x ) ＝ f ( x ) 图象特征关于坐标原点对称．反之亦然关于 y 轴对称 ．反之亦然思考：奇(偶)函数的定义域具有什么特征？它是函数具有奇偶性什么条件？提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．2．奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．(2)如果奇函数 y＝f 在原点有定义，则 f＝0.1．设 f 是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时，f＝2x2－x，则 f 等于( )A．－3 B．－1 C．1 D．3A [ f 是奇函数，当 x≤0 时，f＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.]2．下列各图中，表示以 x 为自变量的奇函数的图象是( )A B C DB [D 不是函数；A，C 不关于原点对称．]3．已知一个奇函数的定义域为，则 a＋b 等于________．－1 [根据奇函数的定义域关于原点对称，知 a 与 b 有一个等于 1，一个等于－2，所以 a＋b＝1＋(－2)＝－1.]4．已知函数 f＝x＋，且 f(1)＝3.(1)求 m 的值；(2)判断函数 f 的奇偶性．[解] (1)由题意知，f(1)＝1＋m＝3，∴m＝2.(2)由(1)知，f＝x＋，x≠0， f＝(－x)＋＝－＝－f，∴函数 f 为奇函数．判断函数的奇偶性【例 1】 判断并证明下列函数的奇偶性：(1)f＝；(2)f＝(x＋1)(x－1)；(3)f＝＋；(4)f＝. [思路点拨] 应先看函数定义域是否关于原点对称，再判断 f 与 f 的关系．[解] (1)因为函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数 1不在定义域内，故 f＝既非奇函数又非偶函数．(2)函数的定义域为 R，因为函数 f＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又 f＝(－x)2－1＝x2－1＝f，所以函数为偶函数．(3)函数的定义域为{－1，1}，因为对定义域内的每一个 x，都有 f＝0，所以 f＝f，故函数 f＝＋为偶函数．又 f＝－f，故函数 f＝＋为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶...