高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间中向量的概念和运算学案 湘教版选修2-1-湘教版高二选修2-1数学学案

3．1 空间中向量的概念和运算 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法和字母表示方法． 2.掌握空间向量的线性运算，数量积．3．能运用运算法则及运算律解决一些简单几何问题． 1．空间向量(1)空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的长度或模．(2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a 的起点是A，终点是 B，则 a 也可记作AB，其模记作|AB|或|a|.2．空间向量的加减法如图，从任意一点 O 出发作OA＝a，OB＝b.并且从 A 出发作AC＝b，则 a＋b＝OC，a－b＝BA．3．空间向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b ＋ a ．(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．4．空间向量与实数相乘(1)定义：实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λ a 仍然是一个向量．(2)向量 a 与 λa 的关系λ 的范围方向关系模的关系λ>0方向相同λa 的模是 a 的模的|λ|倍λ＝0λa＝0，其方向是任意的λ<0方向相反(3)空间向量与实数的乘法运算律①λ(a＋b)＝λ a ＋ λ b (对向量加法的分配律)．②(λ1＋λ2)a＝λ1a ＋ λ 2a(对实数加法的分配律)．5．空间向量的数量积(1)定义：从空间任意一点 O 出发作OA＝a，OB＝b，则 θ＝∠AOB 就是 a，b 所成的角，a，b的数量积 a·b＝| a || b |· cos __θ.(2)空间向量数量积的运算律向量与实数相乘和向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c11．下列命题错误的是( )A．空间向量AB的长度与向量BA的长度相等B．零向量没有长度，所以它不是空间向量C．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量D．若 a＝b，b＝c，则 a＝c解析：选 B.A 中的两个向量互为相反向量，所以它们长度相等；空间向量并不是一个立体图形，只要是存在于立体空间内的向量都是空间向量，所以 B 错误；C 是相等向量定义的另外一个说法；我们研究的向量是自由向量，只要向量相等都可以移动到同一起点，所以 D 正确．2．在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则 a·(b＋c)的值为( )A．1 B．0C．－1 D．－2解析：选 B.a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0.3．在正方体 ABCDA1B1C1D1中，向量AA1与CC1是______向量，向量AC与C1A1是________向量．答案：相等 相反 空间向量的加减运算 如图所示，已知长方体 ABCDA′B′C′D′.化简下列向量表达式，...