2.6.2 双曲线的几何性质学 习 目 标核 心 素 养1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)．2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(重点)3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点)1．通过对双曲线几何性质的学习，培养直观想象素养．2．借助于几何性质的应用，提升逻辑推理，数学运算素养．我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0,1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！1．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点( － c, 0) ， ( c, 0) (0 ，－ c ) ， (0 ， c ) 焦距2 c 范围x ≤ － a 或 x ≥ a ，y∈Ry ≤ － a 或 y ≥ a ，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1( － a, 0) ， A 2( a, 0) A1(0 ，－ a ) ， A 2(0 ， a ) 轴实轴：线段 A1A2，长：2 a ；虚轴：线段 B1B2，长：2 b ；半实轴长：a，半虚轴长：b离心率e＝∈(1 ，＋∞ ) 渐近线y ＝ ± x y ＝ ± x 思考 1：能否用 a，b 表示双曲线的离心率？[提示] 能. e＝＝＝．思考 2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？[提示] 有影响，因为 e＝＝＝，故当的值越大，渐近线 y＝x 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．2．等轴双曲线实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是 y ＝ ± x ，离心率 e＝．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等轴双曲线的离心率为．( )(2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝±x．( )(3)离心率越大，双曲线－＝1 的渐近线的斜率绝对值越大．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (1)√ 因为 a＝b，所以 c＝a，所以 e＝＝．(2)× 由－＝1，得 y＝±x，所以渐近线方程为 y＝±x．(3)√ 由＝＝(e＞1)，所以 e 越大，渐近线 y＝±x 斜率的绝对值越大．2．若 0
