3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量[学习目标] 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向量．知识点一 直线的方向向量直线 l 上的向量 e(e≠0)以及与 e 共线的非零向量叫做直线 l 的方向向量．知识点二 平面的法向量如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α，那么称向量 n 垂直于平面 α，记作 n⊥α，此时，我们把向量 n 叫做平面 α 的法向量．思考 1．平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？答案 相互平行．2．一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？答案 不惟一，它们相互平行，但不一定相等．题型一 直线的方向向量及其应用例 1 设直线 l1的方向向量为 a＝(1,2，－2)，直线 l2的方向向量为 b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则 m＝________.答案 2解析 由题意，得 a⊥b，所以 a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝4－2m＝0，所以 m＝2.反思与感悟 若 l1⊥l2，则 l1与 l2的方向向量垂直；若 l1∥l2，则 l1与 l2的方向向量平行．跟踪训练 1 若直线 l1，l2的方向向量分别是 a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，则 l1与 l2的位置关系是________．答案 垂直解析 因为 a·b＝(1，－3，－1)·(8,2,2)＝8－6－2＝0，所以 a⊥b，从而 l1⊥l2.题型二 求平面的法向量例 2 如图所示，在四棱锥 S－ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面 ABCD，且 SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向量．解 如图，以 A 为原点，以AD，AB，AS分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，D(，0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则DC＝(，1,0)，DS＝(－，0,1)．易知向量AD＝(，0,0)是平面 SAB 的一个法向量．设 n＝(x，y，z)为平面 SDC 的法向量，则即取 x＝2，则 y＝－1，z＝1，∴平面 SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．反思与感悟 求平面法向量的方法与步骤：(1)求平面 ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC，AB；(2)设平面的法向量为 n＝(x，y，z)；(3)联立方程组并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时，设定一个坐标为常数(常数不能为 0)便可得到平面的一个法向量．跟踪训练 2 已知 A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个法向量．解 设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)，由题意知AB＝(－1,1,0...
