高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质 3.2.2 第2课时 奇偶性的应用学案（含解析）新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案

第 2 课时 奇偶性的应用学 习 目 标核 心 素 养1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式．2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.1.利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养．2．借助奇偶性与单调性的应用提升逻辑推理、数学运算素养.用奇偶性求解析式【例 1】 (1)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－x＋1，求 f(x)的解析式；(2)设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝，求函数 f(x)，g(x)的解析式．[思路点拨] (1)――――――→――――→――――→――――→(2)――――――→―――→―――→[解] (1)设 x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又 函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当 x<0 时，f(x)＝－x－1.又 x＝0 时，f(0)＝0，所以 f(x)＝(2) f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．由 f(x)＋g(x)＝，①用－x 代替 x 得 f(－x)＋g(－x)＝，∴f(x)－g(x)＝，②(①＋②)÷2，得 f(x)＝；(①－②)÷2，得 g(x)＝.把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求 f(x)，g(x)的解析式．[解] f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，又 f(x)＋g(x)＝，①用－x 代替上式中的 x，得f(－x)＋g(－x)＝，即 f(x)－g(x)＝.②联立①②得f(x)＝，g(x)＝.利用函数奇偶性求解析式的方法1“ 求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设.2 要利用已知区间的解析式进行代入.3 利用 fx的奇偶性写出－fx或 f－x，从而解出 fx.提醒：若函数 fx的定义域内含 0 且为奇函数，则必有 f0 ＝0，但若为偶函数，未必有 f0 ＝0.函数单调性和奇偶性的综合问题[探究问题]1．如果奇函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么 f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？如果偶函数 f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么 f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？提示：如果奇函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么 f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数 f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么 f(x)在(－b，－a)上单调递增．2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．3．若偶函数 f(x)在(－∞，...