高中数学 第3章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点学案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案

3.1.1 方程的根与函数的零点学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2．会求函数的零点．(重点)3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养．2．借助函数的零点同方程根的关系，提升直观想象的数学素养.1．函数的零点对于函数 y＝f(x)，把使 f ( x ) ＝ 0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．思考 1：函数的零点是函数与 x 轴的交点吗？提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与 x 轴交点的横坐标．2．方程、函数、函数图象之间的关系方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．3．函数零点的存在性定理如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 并 且 有f ( a )· f ( b )<0 ，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．思考 2：该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；② f(a)·f(b)<0.1．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )A B C DD [结合函数零点的定义可知选项 D 没有零点．]2．函数 y＝2x－1 的零点是( )A. B. C.D.2A [由 2x－1＝0 得 x＝.]3．函数 f(x)＝3x－4 的零点所在区间为( )A．(0,1)B．(－1,0) C．(2,3)D．(1,2)D [由 f(－1)＝－<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，得 f(x)的零点所在区间为(1,2)．]4．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，a·c<0，则函数有________个零点．2 [由 Δ＝b2－4ac>0 得二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有两个零点．]求函数的零点【例 1】 (1)求函数 f(x)＝的零点；(2)已知函数 f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为 3，求函数 g(x)＝bx2＋ax 的零点．[解] (1)当 x≤0 时，令 x2＋2x－3＝0，解得 x＝－3；当 x>0 时，令－2＋ln x＝0，解得 x＝e2.所以函数 f(x)＝的零点为－3 和 e2.(2)由已知得 f(3)＝0 即 3a－b＝0，即 b＝3a.故 g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．令 g(x)＝0，即 ax(3x＋1)＝0，解得 x＝0 或 x＝－.所以函数 g(x)的零点为 0 和－.函数零点的求法1 代数法：求方程 fx＝0 的实数根....