高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.1 指数 第2课时 指数幂及其运算学案（含解析）新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案

第 2 课时 指数幂及其运算学 习 目 标核 心 素 养1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)1.通过分数指数幂的运算性质的推导，培养逻辑推理素养．2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.牛顿(Newton 1643～1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？牛顿他在 1676 年 6 月 13 日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将 aa，aaa，aaaa，…写成 a2，a3，a4，…所以可将，，，…写成 a，a，a，…，将，，，…写成 a－1，a－2，a－3，…”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程，下面我们就进入本课的学习．问题：(1)a、a (a>0)写成根式会是怎样的形式？(2)a、a的根式形式中 a≤0 又如何？提示：(1)a＝，a＝＝(其中 a>0，m，n∈N＋，且 n>1)．(2)若 a≤0，a、a不一定有意义，例如(－4)、(－4)无意义，故规定 a>0.1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)负分数指数幂规定：a＝＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)0 的分数指数幂0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义思考：在分数指数幂与根式的互化公式 a＝中，为什么必须规定 a>0?提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即＝a＝0，无研究价值．② 若 a<0，a＝不一定成立，如(－2)＝无意义，故为了避免上述情况规定了 a>0.2．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝a r ＋ s (a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝a rs (a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝a r b r (a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂 aα(a>0，α 是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)0 的任何指数幂都等于 0.( )(2)5＝.( )(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如＝a.( )(4)a可以理解为个 a.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．下列运算结果中，正确的是( )A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6A [a2a3＝a2 ＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选 A.]3．4等于( )A．25 B． C. D．B [4＝＝，故选 B.]4．(m)4＋(－1)0＝________.m2＋1 [(m)4＋(－1)0＝m2＋1.]根式与分数指数幂...