第 5 课 曲线的极坐标方程一、学习要求1.了解曲线的极坐标方程；2.能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化。二、先学后讲1.曲线的极坐标方程如图，在极坐标系中，经过极点，圆心在极轴上，半径为的圆上任意一点满足的几何条件是： ，设，则。可以验证，点，的坐标也满足上述方程。于是，方程就是圆上任意一点的坐标满足的条件；另一方面，可以验证，以方程的解为坐标的点都在圆上。这时，我们把方程叫做圆的极坐标方程。一般地，在极坐标系中，如果平面曲线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的极坐标方程。2．极坐标方程与直角坐标方程的互化 （1）运用互化公式，。若不满足公式，可考虑将条件进行适当变形。 （2）几种变形方法：①两边平方；②两边同乘以；③两边同除以等。三、问题探究■合作探究例 1．把极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线。1把极坐标方程化为直角坐标方程，就是：把“”用“”代换；把 “” 用 “ ”代换； 把“”用“ ”代换。如果不满足代换条件则先对极坐标方程进行变形，如：两边平方、两边同乘以、两边同除以等。(a , 0)θxAOCM解：∵，两边同乘以，得， ∵，，，∴直角坐标方程为：.即，∴曲线是以点为圆心，半径为的圆。■自主探究1．极坐标方程化为直角坐标方程是； 它表示的曲线是。 （答案：）■合作探究例 2．把直角坐标方程化为极坐标方程。 解：∵，，∴，2把直角坐标方程化为极坐标方程： 用“”代替“”；用“”代替“ ”，最后化简即可。化简，得，∴或，∵满足， ∴极坐标方程为。四、总结提升本节课你主要学习了 。五、问题过关1.极坐标方程化为直角坐标方程是；它表示的曲线是。 （答案：）2. 极 坐 标 方 程化 为 直 角 坐 标 方 程 是； 它 表 示 的 曲 线 是。（答案：）3.直角坐标方程化为极坐标方程是。3
