高中数学 第5课时 变换的不变量与特征向量导学案 新人教A版选修4-2-新人教A版高二选修4-2数学学案

第五讲 变换的不变量与特征向量一. 特征值与特征向量【探究】1. 计算下列结果：10010a＝10010b   ＝以上的计算结果与0a，0b   的关系是怎样的？2. 计算下列结果：1 00 20a＝1 00 20b   ＝以上的计算结果与0a，0b   的关系是怎样的？【定义】设矩阵 A＝ a bc d，如果存在实数 及非零向量，使得 A，则称 是矩阵 A 的一个特征值。是矩阵 A 的属于特征值的一个特征向量。（结合探究 1、2 说明，特征值与特征向量）【定理 1】如果是矩阵 A 的属于特征值 的一个特征向量，则对任意的非零常数 k，k也是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量。其几何意义是什么？1【定理 2】属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。【应用】从几何角度解释旋转变换13221322的特征值与特征向量。二、特征值与特征向量的计算1. 设 A＝ 2 21 3，求 A 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。 2【总结规律】一般的，矩阵 A＝ a bc d的特征值及属于每个特征值的一个特征向量的求法。【应用】求 A＝121 4的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。【练习：P70】【第五讲.作业】31. 设 反 射 变 换'':xxyy 对 应 的 矩 阵 为 A ， 则 下 列 不 是 A 的 特 征 向 量 的 是 （ ） A. 01    B. 10    C. 01 D. 11   2.下列说法错误的是 （ ）A.矩阵 A 的一个特征向量只能属于 A 的一个特征值 B.每个二阶矩阵均有特征向量 C.属于矩阵 A 的不同特征值的特征向量一定不共线 D. 如果是矩阵 A 的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数 k，k也是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量。3.设1 ，2 分别是恒等变换与零变换的特征值，则1 －2 ＝ 4.投影变换:0 00 1的所有特征值组成的集合为 5.矩阵 a bc d的特征多项式为 6.已知 A 是二阶矩阵，且 A2＝0，则 A 的特征值为 7.若 0 是矩阵 A＝ 1 10 x的一个...