2.5 直线与圆锥曲线学 习 目 标核 心 素 养1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．(重点)2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．(重点、难点) 通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，求相关弦长、定点、定值、最值、范围等，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程 ax2＋bx＋c＝0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离直线与双曲线a＝01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离直线与抛物线a＝01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离思考：直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？[提示] 不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交．2．弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线 l 的斜率为 k，与圆锥曲线 C 交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 |AB|＝|x1－x2|＝＝|y1－y2|＝.1．抛物线 y2＝12x 截直线 y＝2x＋1 所得弦长等于( )A. B．2 C. D．15A [令直线与抛物线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得 4x2－8x＋1＝0，1∴x1＋x2＝2，x1x2＝，∴|AB|＝＝＝.]2．若直线 y＝kx＋1 与椭圆＋＝1 总有公共点，则 m 的取值范围是 ( )A．m＞1 B．m≥1 或 0＜m＜1C．0＜m＜5 且 m≠1 D．m≥1 且 m≠5D [直线 y＝kx＋1 恒过定点(0,1)，当(0,1)在椭圆上或椭圆内时直线与椭圆总有公共点．∴≥1，解得 m≥1.当 m＝5 时＋＝1 表示圆．故选 D.]3．若直线 x＝a 与双曲线－y2＝1 有两个交点，则 a 的值可以是( )A．4 B．2 C．1 D．－2A [因为在双曲线－y2＝1 中，x≥2 或 x≤－2，所以若 x＝a 与双曲线有两个交点，则 a＞2 或 a＜－2，故只有 A 符合题意．]直线与圆锥曲线的位置关系[探究问题] 直线与圆锥曲线相交时，能用两点间距离公式求弦长吗？[提示] 可以．当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法．【例 1】 直线 y＝mx＋1...
