高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 3 平均值不等式学案 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学学案VIP专享

§3 平均值不等式1．掌握定理 1 和定理 2 及其证明，并能灵活应用．2．理解定理 3 和定理 4 及其证明，并能简单应用．3．会用相关定理解决简单的最大(最小)值问题．1．二元均值不等式(1)定理 1：对任意实数 a，b，有 a2＋b2≥____(此式当且仅当 a＝b 时取“＝”号)．(2)定理 2：对任意两个正数 a，b，有______≥(此式当且仅当 a＝b 时取“＝”号)．我们称______为正数 a 与 b 的算术平均值，______为正数 a 与 b 的几何平均值．定理 2 可叙述为：两个正数的__________不小于它们的__________．【做一做 1－1】函数 y＝＋x(x＞3)的最小值是( )．A．5 B．4 C．3 D．2【做一做 1－2】“a＞b＞0”是“ab＜”的( )．A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．三元均值不等式及其推广(1)定理 3：对任意三个正数 a，b，c，有 a3＋b3＋c3≥____(此式当且仅当 a＝b＝c 时取“＝”号)．(2)定理 4：对任意三个正数 a，b，c，有≥(此式当且仅当 a＝b＝c 时取“＝”号)．定理 4 可叙述为：三个正数的__________不小于它们的__________．(3)n 个正数的算术几何平均不等式：一般地，对 n 个正数 a1，a2，…，an(n≥2)，我们把数值______________，__________分别称为这 n 个正数的算术平均值与几何平均值，且有______________≥，此式当且仅当____________时取“＝”号，即 n 个正数的算术平均值不小于它们的__________．【做一做 2】设 x，y，z∈R＋，且 x＋y＋z＝1．求证：＋＋≥36．答案：1．(1)2ab (2) 算术平均值 几何平均值【做一做 1－1】A 原式变形为 y＝＋x－3＋3． x＞3，∴x－3＞0，∴＞0．∴y≥2＋3＝5．当且仅当 x－3＝，即 x＝4 时等号成立．【做一做 1－2】A 当 a＞b＞0 时，＞＝ab 成立，当 ab＜时，不能推出“a＞b＞0”，故选A．2．(1)3abc (2)算术平均值 几何平均值(3) a1＝a2＝…＝an 几何平均值【做一做 2】分析：本题需变式出现积为定值的情况，而条件中是和为定值 x＋y＋z＝1，所以对所证不等式的左边需变形出现积为定值的情况．证明：＋＋＝＋＋＝14＋＋＋≥14＋4＋6＋12＝36．当且仅当＝，＝，＝，且 x＋y＋z＝1，即 x＝，y＝，z＝时取等号．对定理 1 和定理 2 的理解剖析：(1)a2＋b2≥2ab 与≥成立的条件是不同的：前者只要求 a，b 都是实数，而后者要求a，b 都是正数．有些同学易忽略这一点，...