高中数学 第一章§4不等式的证明第1课时导学案 北师大版选修4-5

§4 不等式的证明第 1 课时 比较法、分析法1．理解用比较法、分析法证明不等式的一般方法和步骤，并能证明具体的不等式．2．理解不等式证明方法的意义，并掌握不等式中取得等号的条件．1．比较法(1)求差比较法．① 理论依据：a＞b⇔______；a＜b⇔______．② 证明步骤：____→变形→____→得出结论．(2)求商比较法．① 理论依据：b＞0，＞1⇒______；b＜0，＞1⇒____．② 证明步骤：____→变形→________________．【做一做 1－1】已知 x，y∈R，M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy，则 M 与 N 的大小关系是( )．A．M≥N B．M≤N C．M＝N D．不能确定【做一做 1－2】设 m＞1，P＝－，Q＝－，则 P 与 Q 的大小关系是__________．2．分析法(1)定义：从____________出发，分析使此不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件________的问题，如果能够使这些充分条件都具备，那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做______．(2)思路：“执果索因”的证明方法，即从______________出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到____________为止．【做一做 2】若 a＋b＝1，求证：＋≤2．答案：1．(1)①a－b＞0 a－b＜0 ②作差 定号(2)①a＞b a＜b ②作商 判断与 1 的大小关系【做一做 1－1】A M－N＝x2＋y2＋1－(x＋y＋xy)＝[(x2＋y2－2xy)＋(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)]＝[(x－y)2＋(x－1)2＋(y－1)2]≥0．∴M≥N．【做一做 1－2】P＞Q P＝－＝＞0，Q＝－＝＞0，∴＝＞1，∴P＞Q．2．(1)所要证明的结论 是否成立 分析法(2)求证的不等式 找到已知不等式【做一做 2】分析：利用分析法来考虑，容易找到证明思路．证明：要证＋≤2，即证 2≤4，即证 a＋b＋1＋2≤4． a＋b＝1，故就是要证·≤1，即证 ab＋(a＋b)＋≤1，即证 ab≤，只需证 ab≤2，也就是只需 2ab≤a2＋b2成立，这显然是成立的．故原不等式成立．1．比较大小关系的一般方法剖析：比较大小关系的一般方法是求差或求商比较法．可以先用特殊值赋值的方法对最后的结果进行预测，再进行比较．还有一类较为特殊的比较大小的问题，如数列问题中，两个数或代数式的大小可能会随一些变量或参数的不同范围而发生变化，这就要注意对相关问题的讨论，大小关系一定或不一定，首先应判断．2．求商比较法中的符号问题剖析：在求商比较法中，＞1⇒b＞a 是不正确的，这与 a，b 的符号有关，比如若 a，b＞0，由＞1，可得 b＞a，但若 a，b＜...