高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课堂导学案 新人教B版选修2-3-新人教B版高二选修2-3数学学案

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课堂导学三点剖析一、有关系数和的问题【例 1】设（23x）100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值：（1）a0;（2）a1+a2+…+a100;（3）a1+a3+a5+…+a99;（4）（a0+a2+…+a100）2-（a1+a3+…+a99）2.解：（1）由（23x）100展开式中的常数项为0100C·2100,即 a0=2100,或令 x=0,则展开式可化为a0=2100.（2）令 x=1，可得a0+a1+a2+…+a100=（23）100,①∴a1+a2+…+a100=（23）100-2100.（3）令 x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a100=（2+ 3 ）100.②与 x=1 所得到的①联立相减可得，a1+a3+…+a99=2)32()32(100100.（4）原式=［（a0+a2+…+a100）+（a1+a3+…+a99）］［（a0+a2+…+a100）-（a1+a3+…+a99）］=（a0+a1+a2+…+a100）（a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100）=（2- 3 ）100（2+ 3 ）100=1.温馨提示 本题采用了赋值法求各项系数之和.一般地，若 f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则 f（x）展开式各项系数之和为 f（1），奇数项系数之和为 a0+a2+a4+…=2)1()1( ff,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=2)1()1( ff.二、系数最大项问题【例 2】已知在（x - 21 3 x ）n的展开式中，只有第 6 项的二项式系数最大.（1）求 n;（2）求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.解析：（1）因为展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，所以 n 是偶数，第 6 项即为中间项，∴ 2n +1=6,得 n=10.1（2）展开式的通项是 Tr+1=rC10 （-1）r·2-r·630 rx ,系数的绝对值是rC10 ·2-r,若它最大则)1(11010)1(110102222rrrrrrrrCCCC，211,21101rrrr38 ≤r≤311 . r∈N*,∴r=3,∴系数绝对值最大的项是第 4 项，即310C·2-3·92x =2915x. 系数最大的项应在项数为奇数的项之内，即 r 取偶数 0，2，4，6，8 时，各项系数分别为010C=1，210C·2-2= 445 .410C·2-4= 8105 ,610C·2-6= 32105 ,810C·2-n= 25645 ,∴系数最大的项是第 5 项，即 8105313x.温馨提示 注意“系数”与“二项式系数”在概念上的区别，否则会得出“系数最大的项为 T4，而系数最小的项为 T1和 T7”的错误结论. 一系列数的大小比较问题，其数学模型就是数列中各项的大小比较问题，而数列{an}的各项大小排队方法无外乎单调性法、作差法、作商法等.本题用了作商与 1 比较的方法.三、二项式定理性质的综合应用【...