高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质课堂导学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案

1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质课堂导学三点剖析一、增减性与最值问题【例 1】 在（1+2x）10的展开式中，（1）求系数最大的项；（2）若 x=2.5,则第几项的值最大？解析：（1）设第 r+1 项的系数最大，由通项公式 Tr+1=rC10·2rxr，依题意 Tr+1项的系数不小于 Tr项及 Tr+2项的系数，即1110101110102222rrrrrrrrCCCC，解得)10(21)11(2rrrr.∴ 319 ≤r≤ 322 且 r∈Z,∴r=7,故系数最大项为 T8=710C27x7=15 360x7.(2)设展开式中的第 r+1 项的值最大，则 Tr+1≥Tr＞0,Tr+1≥Tr+2＞0,∴,1,1121rrrrTTTT∴12110)2()2(1211)2()2(101110111010xrrxCxCxrrxCxCrrrrrrrr.将 x=2.5 代入得11)10(51)11(5rrrr,得649 ≤r≤655 .∴r=9,即展开式中的第 10 项的值最大.二、“二项式系数和”、“系数和”问题【例 2】 已知（1-3x）8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8.求（1）a0+a1+…+a8;(2)a0+a2+a4+a6+a8;(3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|.解析：（1）令 x=1，得a0+a1+…+a8=28=256. ①(2)令 x=-1，得a8-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=48 ②∴①+② 得2(a8+a6+a4+a2+a0)=28+48.∴a8+a6+a4+a2+a0= 21 (28+48)=32 896.(3)由于（1-3x）81=C08+18C (-3x)+28C (-3x)2+…+88C (-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8故 a0,a2, …,a8＞0，a1,a3, …,a8＜0，∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|=a0-a1+a2-a3+…+a8.由②可知|a0|+|a1|+…+|a8|=48=65 536.三、与“杨辉三角”有关的问题【例 3】 如下图的数表中每一个数都是某个正整数的倒数，起始行（第 0 行）为 1，每一个数都等于脚下两数之和.（1）试填写第 1 行和第 2 行，填法是否唯一，并说明理由.（2）注意第 n 行（n=0,1,2,…）的第 1 个数为 1n+1，猜想此时第 n 行第 r 个数（不证明）.解析：（1）nm11 =1,(m,n∈N*),则有nnm11,n 与 n-1 互质，故 m=2,n=2,第一行为 21 , 21 ,令nm11 = 21 (m,n∈N*),则有nnm221.当 n-2=1 时，n=3,m=6;当 n-2=2 时，n=4,m=4;当 n-2 是 n 的约数时，记 n=R(n-2)(R∈N*),(R-1)n=2R,R 与 R-1 互质，所以 R-1=2，R=3，此时n=3,进而知 m=6.故第二行填法不唯一，可为 41 ， 41 ， 41 ，也可为 31 ， 61 ， 31 .（2）猜想：令第 3 行第 1 个数为 41 ，则第 3 行各数依次为 41 ，...