第 2 课时 半角公式及其应用[核心必知]正弦、余弦和正切的半角公式半角的正弦公式sin ＝±_半角的余弦公式cos ＝±_半角的正切公式tan ＝±＝＝[问题思考]1．半角公式适用条件是什么？提示：cos ＝± ，sin ＝± 中，α∈R，tan ＝± ＝中， α≠2kπ＋π，k∈Z，tan ＝中，α≠kπ，k∈Z.2．半角正切公式中的三个公式各有什么优缺点？提示：无理式公式的优点是只含一个函数 cos α，缺点是含有“±”号，需判断所在的象限来确定 tan 的正负；有理式公式的优点是不用判断所在的象限，缺点是需知道 sin α，cos α 两个函数的值才能计算．讲一讲1．已知 cos α＝，α 为第四象限的角，求 tan 的值．[尝试解答] 法一：(用 tan ＝± 来处理)． α 为第四象限的角，∴是第二或第四象限的角．∴tan <0.∴tan ＝－ ＝－ ＝－ ＝－ ＝－ ＝.法二：(用 tan ＝来处理) α 为第四象限的角，∴sin α<0.∴sin α＝－ ＝－ ＝－.∴tan ＝＝＝.法三：(用 tan ＝来处理) α 为第四象限的角，∴sin α<0.∴sin α＝－ ＝－＝－.∴tan ＝＝＝＝.在求半角的正切 tan 时，用 tan ＝± 来处理，要由 α 所在的象限确定所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用 tan ＝或 tan ＝来处理，可以避免这些问题．尤其是 tan ＝，分母是单项式，容易计算．因此常用 tan ＝求半角的正切值．练一练1．已知 sin α＝－，180°<α<270°，求 sin ，cos ，tan 的值．解： 180°<α<270°，∴90°<<135°.又 sin α＝－，∴cos α＝－.∴sin ＝ ＝ ＝.cos ＝－ ＝ ＝－.tan ＝＝－2.讲一讲2．设 α∈(，2π)，化简：.[尝试解答] α∈，∴cos α>0，cos <0.故原式＝ ＝＝＝|cos |＝－cos .利用半角公式进行化简时，应正确选用升、降幂公式：当待化简式中含有根式时，应选用升幂公式(cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1)去根号；当待化简式中含有高次式时，应选用降幂公式(sin2α＝，cos2α＝)降低次数以减少运算量，注意隐含条件中角的范围．练一练2．化简：(1＋tan xtan )．解：原式＝(1＋·)＝sin x(1＋)＝sin x＝tan x.讲一讲3．求证：＝sin 2α.[尝试解答] 左边＝＝＝＝sin αcos α＝sin 2α＝ 右边．1．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．2．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角...
