高中数学 第二单元 平面向量 2.4.1 向量在几何中的应用学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

2.4.1 向量在几何中的应用学习目标 1.经历用向量方法解决某些简单的几何问题及其它一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.知识点一 向量在平面几何中的应用设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b 的夹角为 θ.思考 1 证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？ 思考 2 证明垂直问题，可用向量的哪些知识？ 思考 3 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 梳理 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔__________⇔______________.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔________⇔__________.(3) 求 夹 角 问 题 ， 往 往 利 用 向 量 的 夹 角 公 式 ： cos θ ＝ ______________ ＝_________________.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝__________.知识点二 直线的方向向量和法向量思考 若向量 a＝(a1，a2)平行于直线 l，则 a1，a2与直线 l 的斜率 k 有何关系？ 梳理 如果知道直线的斜率 k＝，则向量(a1，a2)一定与该直线__________.这时向量(a1，a2)称为这条直线的________向量.如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线.这个向量称为这条直线的________向量.即直线 y＝kx＋b 的方向向量为____________，法向量为________；直线 Ax＋By＋C＝0 的方向向量为________，法向量为________.类型一 用平面向量解决平面几何问题例 1 已知在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 CD、AD 的中点，BE、CF 交于点 P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB. 反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤① 选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化.(2)向量的坐标运算法的四个步骤① 建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系；④把几何问题向量化.跟踪训练 1 如图，在正方形 ABCD 中，P 为对角线 AC 上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为 E，F，连接 DP，EF，求证：DP⊥EF. 类型二 向量在解析几何中的应用例 2 已知△ABC 的三个顶点 A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点 D，E，F 分别为边BC，CA，AB ...