高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 两个向量的数量积学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

3.1.3 两个向量的数量积学习目标 1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．知识点一 两个向量的数量积思考 1 如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量OA与BC的数量积？并总结求两个向量数量积的方法．思考 2 等边△ABC 中，AB与BC的夹角是多少？梳理 (1)定义：已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做 a，b 的数量积(或内积)，记作 a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝________交换律a·b＝________分配律(a＋b)·c＝________知识点二 两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则________叫做向量 a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：〈a，b〉∈________.特别地：当〈a，b〉＝________时，a⊥b.知识点三 两个向量的数量积的性质两个向量数量积的性质① 若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔__________② 若 a 与 b 同向，则 a·b＝________；若反向，则a·b＝________.特别地，a·a＝______或|a|＝③ 若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝________④|a·b|≤|a|·|b|类型一 空间向量的数量积运算命题角度 1 空间向量数量积的基本运算例 1 (1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明．①p2·q2＝(p·q)2；②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；③ 若 a 与(a·b)·c－(a·c)·b 均不为 0，则它们垂直．(2)设 θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b)．反思与感悟 (1)已知 a，b 的模及 a 与 b 的夹角，直接代入数量积的公式计算．(2)如果欲求的是关于 a 与 b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用 a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．跟踪训练 1 已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么|a＋3b|等于( )A. B.C. D．4命题角度 2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例 2 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E 为侧面 AB1的中心，F 为 A1D1的中点．试计算：(1)BC·ED1；(2)BF·AB1；(3)EF·FC1.反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量．零向...