高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点学案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案

3.1.1 方程的根与函数的零点学习目标：1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2.会求函数的零点．(重点)3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的零点对于函数 y＝f(x)，把使 f ( x ) ＝ 0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．思考 1：函数的零点是函数与 x 轴的交点吗？[提示] 不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与 x 轴交点的横坐标．2．方程、函数、函数图象之间的关系方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．3．函数零点的存在性定理如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f ( a )· f ( b )<0 .那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个 c 也就是方程f(x)＝0 的根．思考 2：该定理具备哪些条件？[提示] 定理要求具备两条：①函数在区间 [a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；② f(a)·f(b)<0.[基础自测]1．思考辨析(1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程 f(x)＝0 有两个不等实根 x1，x2，则函数 y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．( )(3)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)<0.( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．函数 y＝2x－1 的零点是( )A. B.C. D．2A [由 2x－1＝0 得 x＝.]3．函数 f(x)＝3x－4 的零点所在区间为( )【导学号：37102345】A．(0,1) B．(－1,0)C．(2,3) D．(1,2)D [由 f(1)＝3－4＝－1<0，f(2)＝9－4＝5>0 得 f(x)的零点所在区间为(1,2)．]4．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，a·c<0，则函数有________个零点．两 [由 Δ＝b2－4ac>0 得二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有两个零点．][合 作 探 究·攻 重 难]求函数的零点 (1)求函数 f(x)＝的零点；(2)已知函数 f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为 3，求函数 g(x)＝bx2＋ax 的零点. 【导学号：37102346】[解] (1)当 x≤0 时，令 x2＋2x－3＝0，解得 x＝－3；当 x>0 时，令－2＋ln x＝0，解得 x＝e2.所以函数 f(x)＝的零点为－3 和 e2.(2)由已知得 f(3)＝0 即 3a－b＝0，即 b＝3a.故 g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．令 g(x)＝0，即 ax(3x＋1)＝0，解得 x＝0 或 x＝－.所以函数 g(x)的零点为 0 和－.[规律方法] 函数零点的求法代数...