二 一般形式的柯西不等式 1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式．2．会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值等问题．, [学生用书 P43])1．三维形式的柯西不等式设 a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2＋ a 3b3) 2 ，当且仅当 bi＝ 0( i ＝ 1 ， 2 ， 3 ) 或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1，2，3)时，等号成立．2．一般形式的柯西不等式设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2＋…＋ a nbn) 2 ，当且仅当 bi＝ 0( i ＝ 1 ， 2 ， …， n ) 或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二维形式的柯西不等式是一般形式的柯西不等式的特殊情况．( )(2)三维形式的柯西不等式可以由空间向量的几何意义推导出来．( )(3)柯西不等式中的字母 a，b，c，…具有轮换对称性，按照一定顺序轮换，式子不变．( )(4)在应用柯西不等式时，不需要验证等号成立的条件．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知 x，y，z＞0，且 x＋y＋z＝1，则 x2＋y2＋z2的最小值是( )A．1 B．C． D．3答案：B3．设 a，b，c＞0，且 a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是( )A．1 B．C．3 D．9答案：B4．已知 a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则 a2＋4b2＋9c2的最小值为________．1解析：由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，即 a2＋4b2＋9c2≥12，当 a＝2b＝3c＝2 时，等号成立，所以 a2＋4b2＋9c2的最小值为 12.答案：12 利用柯西不等式证明不等式[学生用书 P44] (1)设 a，b，c 为正数，求证＋＋≥a＋b＋c.(2)设 a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn为正实数，求证：＋＋…＋≥.【证明】 (1)(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥＝(a＋b＋c)2，即(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.因为 a，b，c∈R＋，所以 a＋b＋c＞0，所以＋＋≥a＋b＋c.(2)(b1＋b2＋…＋bn)≥＝(a1＋a2＋…＋an)2.因为 b1，b2，…，bn为正实数，所以 b1＋b2＋…＋bn>0.所以＋＋…＋≥.当且仅当＝＝…＝时，等号成立．利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数． (2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．(3)构造符合柯西不等式的形式及...
