高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式学案（含解析）新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

三 排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是 b1，b2，…，bn的任一排列，称 a1b1＋ a 2b2＋…＋ a nbn 为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称 a1bn＋ a 2bn－1＋…＋anb1 为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称 a1c1＋ a 2c2＋…＋ a ncn 为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数 ，c1，c2，…，cn是 b1，b2，…，bn的任一排列，则 a1bn＋ a 2bn－1＋…＋ a nb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋ a 2b2＋…＋ a nbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或 b1＝b2＝…＝bn.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．用排序不等式证明不等式(所证不等式中字母大小顺序已确定) 已知 a，b，c 为正数，且 a≥b≥c，求证：＋＋≥＋＋. 分析题目中已明确 a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可． a≥b>0，∴≤.又 c>0，从而≥.同理≥，从而≥≥.又由于顺序和不小于乱序和，故可得＋＋≥＋＋＝＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋.∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知 0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明： 0<α<β<γ<，且 y＝sin x 在为增函数，y＝cos x 在为减函数，∴0cos β>cos γ>0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin β·cos β＋sin γcos γ＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．2．设 x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.1证明： x≥1，∴1≤x≤x2≤…≤xn.由排序原理，得 12＋x2＋x4＋…＋x2n≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，即 1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①又因为 x，x2，…，xn,1 为 1，x，x2，…，xn的一个排列，由排序原理，得 1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，得 x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.②将①②相加，得 1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设) 在...