第三讲 柯西不等式与排序不等式复 习 课 [整合·网络构建] [警示·易错提醒]1．柯西不等式的易错点．在应用柯西不等式求最值时，易忽视等号成立的条件．2．排序不等式的易错点．不等式具有传递性，但并不是任意两个不等式比较大小都可以用传递性来解决的，由a＞m，b＞m，推出 a＞b 是错误的．专题一 柯西不等式的应用 柯西不等式主要有二维形式的柯西不等式(包括向量形式、三角形式)和一般形式的柯西不等式，不仅可以用来求最值，还可以用来证明不等式．[例❶] 已知实数 x，y，z 满足 x2＋2y2＋3z2＝3，求 u＝x＋2y＋3z 的最小值和最大值．解：因为(x＋2y＋3z)2＝(x·1＋y·＋z·)2≤[x2＋(y)2＋(z)2]·[12＋()2＋()2]＝(x2＋2y2＋3z2)(1＋2＋3)＝18.当且仅当＝＝，即 x＝y＝z 时，等号成立．所以－3≤x＋2y＋3z≤3，即 u 的最小值为－3，最大值为 3.归纳升华柯西不等式可以用来求最值和证明不等式，应用柯西不等式的关键在于构造两个适当的数组，并且要注意等号成立的条件．[变式训练] 设 a，b，x，y 都是正数，且 x＋y＝a＋b，求证：＋≥.证明：因为 a，b，x，y 都大于 0，且 x＋y＝a＋b，由柯西不等式，知 [(a＋x)＋(b＋y)]≥＝(a＋b)2.又 a＋x＋b＋y＝2(a＋b)＞0，所以＋≥.专题二 排序不等式的应用1．用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．2．注意等号成立的条件．[例❷] 在△ABC 中，试证：≤＜.证明：不妨设 a≤b≤c，于是 A≤B≤C.由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.相加，得 3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，得≥，①又由 0＜b＋c－a，0＜a＋b－c，0＜a＋c－b，有 0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)．得＜.②由①②得原不等式成立．归纳升华利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组． [变式训练] 已知 a，b，c∈R，求证 a＋b＋c≤.证明：不妨设 a≥b≥c＞0，则有 a2≥b2≥c2，ab≥ac≥bc.由排序原理，得 a2bc＋ab2c＋abc2≤a3c＋b3a＋c3b.又 a3≥b3≥c3，且 a≥b≥c，由排序原理，得 a3c＋ab3＋bc3≤a4＋b4＋c4，所以 a＋b＋c≤.专题三 转化与...
