第三讲柯西不等式与排序不等式一、知识梳理二、题型、技巧归纳题型一、利用柯西不等式证明简单不等式柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活 运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．例 1 已知 a，b，c 是实数，且 a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤4.[再练一题]1．设 a，b，x，y 都是正数，且 x＋y＝a＋b，求证：＋≥.题型二、排序原理在不等式证明中的应用应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点 应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．例 2 已知 a，b，c 为正 实数，求证：a＋b＋c≤＋＋.[再练一题]2．设 a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.题型三、利用柯西不等式、排序不等式求最值有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．例 3 设 a，b，c 为正实数，且 a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值．[再练一题]3．已知实数 a，b，c，d，e 满足 a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16.求 a＋b＋c＋d＋e 的最大值.三、随堂检测1．已知关于 x 的不等式|x＋a|0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c 的最小值为 4.(1)求 a＋b＋c 的值；(2)求 a2＋b2＋c2的最小值．3．已知 x>1，y>1，且 lg x＋lg y＝4，那么 lg x·lg y 的最大值是( )A．2 B. C. D．44．已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则(＋)2的最大值是( )A．2B.C．6D．125．数列{an}的通项公式 an＝，则数列{an}中 的最大项是( )A．第 9项B．第 8 项和第 9 项C．第 10 项D．第 9 项和第 10 项参考答案1.【解】 (1)由|x＋a|0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，所以 f(x)的最小值为 a＋b＋c.又已知 f(x)的最小值为 4，所以 a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得(4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，即 a2＋b2＋c2≥.当且仅当＝＝，即 a＝，b＝，c＝时等号成立，故 a2＋b2＋c2的最小值是.3.【解析】 ∵4＝lg x＋lg y≥2，∴lg x·lg y≤4.【答案】 D4.【解析】 (＋)2＝(1×＋1×)2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当＝，即 a＝b＝时等号成立．故选 D.【答案】 D5.【解析】 an＝＝≤＝，当且仅当 n＝，即 n＝3 时等号成立．又n∈N＋，检验可知选 D.【答案】 D
