（三） 例题【例 1-3-7】 求［解］设 u = arctanx ，dv = xdx 、则，利用分部积分公式，得【例 1-3-8】 已知 f’ (x )=sec2x+ sin2x ,且 f (0) =, 则 f (x) 等于 (A) tanx +cos2x + (B) tanx –cos2x+(C) tanx – cos2x +2(D) tanx +cos2x +1由 f ( 0 ) =, 得 - + C =, C = 2 ．故选（ C ）。【 解 】 设 cosx = t ，则 dt ＝-sinxdx ，且当 x = 0 时， t = 1 时；当 x = 时，t = 0 . 于是【解】 设 u = arcsinx , dv = dx ，则 du=, v = x 。代入分部积分公式，得【例 1-3-11】计算 .【 解 】 设＝t, 则 x = , dx = td t，且当 x = 0 时， t = l ；当 x = 4 时，t =3 .于是二、反常积分 （一）两类反常积分的定义 1 ．无穷限的反常积分若极限存在，则称此极限为 f ( x ）在「 a ，＋ 〕 上的反常积分，记作f(x)dx, 即这时，称反常积分f（x） dx 收敛；若上述极限不存在，则称反常积分f（x） dx 不存在或发散。类似地定义反常积分当且仅当反常积分都收敛时，定义反常积分2 ．无界函数的反常积分若 f ( x ）在（ a ，b）上连续，而在点 a 的右邻域内无界，极限存在，则称此极限为 f（ x ）在（ a ，b）上的反常积分，记作f（x） dx ，即这时，称反常积分f（x）dx 收敛 ·若 f ( x ）在 【 a , b ）上连续，而在点 b 的左邻域内无界，类似地定义反常积分（二）例题1. 计算于是2. 【 解 】 因为所以所求积分属无界函数的反常积分。按定义3. 下列反常积分中收敛的是易知其他三个积分发散，故选（ C ）。
