2．计算,其中 D 是 x 轴、 y 轴和抛物线 y =1 – x2所围成的在第一象限内的闭区域。【 解 】抛物线 y =1 – x2与 x 轴、 y 轴的交点依次为（1，0）及（0，1），积分区域 D （图 1-3-5 ）可表成从而3． 计算，其中 D 是由中心在原点、半径为 α 的圆周所围成的闭区域。【 解 】 在极坐标系中，闭区域 D 可表成于是4．交换积分次序，二次积分化为［解」由所给的二次积分，可得积分区域更换积分次序，得故选（ B ）。5．计算三重积分，其中 Ω 为三个坐标面及平面 x + 2y + z =1 所围成的闭区域。【 解 】 积分区域而于是【解】Ω1是上半球 Ω2 是 Ω1的，位于第一卦限内。Ω1关于 yOz 面和 zOx 面都对称，所以只要被积函数对 x 及 y 都是偶函数，就有上述四个选项中，只有当 f (x ,y, z) = z 时，上述关系才成立，故应选（ C ）。本题也可以实行如下解法。由于 Ω1关于 yOz 面对称，而被积函数关于 x 是奇函数，故有但因此（ A ）不正确。同理， ( B ）和（ D ）也不正确。故应选（ C ）。四、平面曲线积分格林公式（一）平面曲线积分的概念与性质 1 ．对弧长的曲线积分的概念与性质设 L 为平面内一条光滑曲线弧， f （x，y）在 L 上有界，将 L 任意划分成 n 个小段，第 i 个小段的长度为，（ , ）为第 i 小段上任一点，＝ max , 若极限总存在，则称此极限为 f（x，y）在 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作 ,即若曲线形构件 L 在点（ x , y ）处的线密度为（x， y ) ，则曲线积分( x , y ) ds 就表示此构件的质量 M ，即当 L 为闭曲线时，曲线积分记为f ( x ,y )ds.第一类曲线积分具有如下性质：2 对坐标的曲线积分的概念与性质设 L 为平面内从点 A 到点 B 的一条有向光滑曲线弧，P（ x ，y）、 Q ( x ，y)在 L 上有界，将 L任意分成 n 个有向小弧段( I =1,2,…,n; M0= A, Mn=B ), = xi – xi-1 , = yi – yi-1 .任取（ , ），记 =max,若极限总存在，则称此极限为 P（x，y）在有向曲线弧 L 上对坐标 x 的曲线积分，记作P(x,y) ds,即类似地定义 Q （x， y ）在有向曲线弧 L 上对 y 的曲线积分 。Q( x ,y )dy ,即对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分。P (x ,y )dx +Q( x, y)dy 通常写成P(x ,y )dx +Q(x ,y)dy。若某质点沿有向曲线弧 L 移动，受变力 F = (P (x ,y),Q (x ,y))作用，则变力作的功为对坐标的曲线积分具有如下性质：其中 L-表示与 L 反向的有向曲线弧。其中 a 、为常数。
