第27讲-数学：概率与数理统计-

5 ．全概率公式 假如事件 A1 ， … ，An构成一个完备事件组（即 A1 ， … ， An两两互不相容， A1 + …＋ A n, = U ，且 P（ A i ) > 0, i = 1 ， … ，n），那么6 ．贝叶斯公式 （或逆概率公式） 假如事件 A1 ， … A n构成一个完备事件组，那么，当 P （ B ) > 0 时，古典概型假如试验只可能有有限个（记作 n ）不同的试验结果，且这些不同结果的出现具有等可能性,那么随机事件 A 的概率为其中 m 为 A 所包含的不同的试验结果的个数。这个概率称为古典概率；用这个方法计算概率的数学模型称为古典概型。例题1．设 P（ A ) = 0 . 2 ，P（ B ) = 0 . 5 。在下列三种情形下，分别求 P （ A + B ) : （ 1 ) A 与 B 互不相容； （ 2 ) A 与 B 有包含关系； （ 3 ) A 与 B 相互独立。【解】 （ 1 ）由 AB = V 推得 P（ A + B ) ＝P（ A ) ＋P（ B ) = 0 . 2 + 0 . 5 = 0 . 7 .（ 2 ）由于 P（ B ) ＞P（ A ) ，因此 A B 。由 A + B = B 推得 P（ A + B ) ＝P（ B ) = 0 . 5 .（ 3 ）由于 A 与 B 相互独立，因此 P （AB)＝P（ A ）P（ B ) = 0 . 2 ×0 . 5 = 0 . 1 。于是，P（ A + B ) ＝P（ A ) + P （ B ）- P（AB ）＝ 0 . 2 + 0 . 5 - 01 = 0 . 6 .2．两台机床加工同样的零件，第一台出现次品的概率是 0.04 ，第二台出现次品的概率是 0 . 02 。加工出来的零件放在一起，第一台加工的零件占 25 ％。（ 1 ）从这批零件中任意取出一个，求它是次品的概率； （ 2 ）从这批零件中任意取出一个，经检查它是次品。求它是由第二台机床加工的概率。【 解 】 设事件 A i表示“任意取出的零件是由第 i 台机床加工的” , i = 1 , 2 ；事件 B 表示“任意取出的零件是次品”。由题设知道，P（ Al ) = 0 . 25 ，P（ A2 ) = 1 - P（ A1) = 0 . 75 ；且 P（ B A 1 ) = 0 . 04 , P （ B A2 ) = 0 . 02 。 （ 1 ）由全概率公式算得P （ B ) = 0 . 04x0 . 25 + 0 . 02X0 . 75 = 0 . 025（ 2 ）由贝叶斯公式算得3．口袋里装有 12 只外形相同的球，其中 5 只是红球， 7 只是白球。从口袋中任意取出 2 只球。求它们都是红球的概率。【 解...