2.2.4 均值不等式及其应用素养目标·定方向课程标准学法解读1．了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．2．会运用均值不等式解决最值、范围、不等式证明等相关问题．3．掌握运用均值不等式≥(a，b>0)求最值的常用方法及需注意的问题.1．注意从数与形的角度来审视均值不等式，体会数形结合思想的应用．2．通过“积定”与“和定”来把握均值不等式并研究最值，加深对“一正、二定、三相等”的理解．3．注重均值不等式的变形，体会其特征，强化记忆.第 1 课时 均值不等式必备知识·探新知基础知识 1．均值不等式(基本不等式)(1)算术平均值与几何平均值.前提给定两个正数 a，b结论数称为 a，b 的__算术平均值__数称为 a，b 的几何平均值(2)均值不等式.前提__a ， b __都是正数结论≥等号成立的条件当且仅当 a＝b 时，等号成立几何意义所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大思考 1：均值不等式与不等式 a2＋b2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论．提示：(1)在 a2＋b2≥2ab 中，a，b∈R；在 a＋b≥2 中，a，b>0.(2)两者都带有等号，等号成立的等件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)．(3)证明的方法都是作差比较法．(4)都可以用来求最值．2．均值不等式与最值两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．思考 2：应用上述两个结论时，要注意哪些事项？提示：应用上述性质时注意三点：(1)各项或各因式均为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．基础自测 1．下列不等式中正确的是( D )A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4abC．≥ D．x2＋≥2解析：a<0，则 a＋≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故 B 错；a＝4，b＝16，则<，故 C 错；由基本不等式可知 D 项正确．2．不等式(x－2y)＋≥2 成立的条件为( B )A．x≥2y，当且仅当 x－2y＝1 时取等号B．x>2y，当且仅当 x－2y＝1 时取等号C．x≤2y，当且仅当 x－2y＝1 时取等号D．x<2y，当且仅当 x－2y＝1 时取等号解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以 x－2y>0，即 x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即 x－2y＝1，故选 B．3．如果 a>0，那么 a＋＋2 的最小值是__4__.解析：因为 a>0，所以 a＋＋2≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当 a＝，即 a＝1(－1 舍)时取等号．4．已知 0
