四 渐开线与摆线 1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆 ． 2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：(φ 为参数)．(2)摆线的参数方程：.(φ 为参数)． 圆的渐开线的参数方程[例 1] 求半径为 4 的圆的渐开线的参数方程．[思路点拨] 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．[解] 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐开线定义，弧 的长和线段 AM 的长相等，记和 x 轴正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝＝4θ.作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得＝(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知∠MAB＝θ，＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得＝＋.＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又＝(x，y)，因此有这就是所求圆的渐开线的参数方程．圆的渐开线的参数方程中，字母 r 表示基圆的半径，字母 φ 是指绳子外端运动时绳子上的定点 M 相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．1．已知圆的渐开线的参数方程(φ 为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________．解析：圆的渐开线的参数方程可化为(φ 为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径 r＝3.答：32．已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点 A，B 对应的参数分别是和，求 A，B 两点的距离．解：根据条件可知圆的半径是 1，所以对应的渐开线参数方程是(φ 为参数)，分别把 φ＝和 φ＝代入，可得 A，B 两点的坐标分别为 A，B.那么，根据两点之间的距离公式可得 A，B 两点的距离为|AB|＝ ＝ .即 A，B 两点之间的距离为 .圆的摆线的参数方程[例 2] 求半径为 2 的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点 M 在原点 O 处，取圆滚动时转过的角度 α，(以弧度为单位)为参数)[思路点拨] 利用向量知识和三角函数的有关知识求解...
