2.4 正态分布预习导航课程目标学习脉络1.通过实例，借助于直观，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．了解 3σ 原则，会求正态变量在特殊区间内的概率．2．通过本节的学习，体会函数思想、数形结合思想在实际中的运用.一、正态分布与正态曲线如果随机变量 X 的概率密度函数为f(x)＝()222ex (x∈R，μ，σ 为参数，且 σ＞0，－∞＜μ＜＋∞)，称 X 服从参数为μ，σ 的正态分布，用 X～N(μ，σ2)表示，f(x)的图象简称为正态曲线，例如当 μ＝0，σ＝0.5，1,2 时，所表示的曲线如图所示．若 X～N(μ，σ2)，则 X 的期望与方差分别为 E ( X ) ＝ μ ， D ( X ) ＝ σ 2 .思考正态变量的概率密度函数解析式中参数 μ，σ 分别表示随机变量取值的哪一个数字特征？提示：μ 是正态分布的期望，σ 是正态分布的标准差．二、正态曲线的性质1．曲线在 x 轴的上方，并且关于直线 x＝μ 对称．2．曲线在 x＝μ 时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状．3．曲线的形状由 σ 确定，σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ 越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．4．当 σ 相同时，正态分布曲线的位置由期望值 μ 所决定．设 X 是一个按正态分布的随机变量，则对任意的数 a＞0 及 b，aX＋b 仍是一个按正态分布的随机变量．5．3σ 原则．从理论上可以证明，正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内，取值的概率分别是 68.3%,95.4%,99.7%.由于正态变量在(－∞，＋∞)内取值的概率是 1，容易推出，它在区间(μ－2σ，μ＋2σ)之外取值的概率是 4.6%，在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率是 0.3%.于是正态变量的取值几乎都在距 x＝μ 三倍标准差之内，这就是正态分布的 3σ 原则．1
