2.2.2 平面与平面平行的判定知识梳理1.若平面 β 内有一条直线与平面 α 平行,则 α、β 不一定平行.2.若平面 β 内有两条直线与平面 α 平行,则 α、β 不一定平行.3.平面与平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行,用数学符号表示为 αβ,bβ,a∩b=P,a∥α,b∥αα∥β.知识导学 用判定定理证明面面平行的关键是在一个面内找到两条相交直线分别平行于另一个平面,即把证明面面平行转化为线线平行和线面平行去解决.疑难突破1.平面与平面平行的判定方法有哪些？剖析:(1)利用定义:证两个平面没有公共点.(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(3)定理:垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.(5)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.判断面面平行时,若两个平面中出现了对应直线平行,可利用判定定理;若出现一条直线与两平面都垂直,可考虑利用线面垂直的性质解决;若以上两种情况均未出现,可利用反证法,否定相交关系达到证明平行的目的.2.根据平面与平面平行的判定定理,经过平面 α 外一点 A,有几个平面与已知平面平行？为什么？剖析:过点 A 引两条直线 a、b,使 a∥α,b∥α,因为 a∩b=A,所以 a、b 确定一平面 β,且 β∥α.设过点 A 还有一平面 γ∥α,则在 α 内取一直线 c,使它与 β、γ 两平面的交线不平行,则过 c 与 A 可确定平面 δ.因为 A∈δ,A∈β,所以 β 与 δ 两平面相交.设 β∩δ=m,同理可设 γ∩δ=n,且 m∩n=B.因为 β∥α,所以 m∥c.又 γ∥α,所以 n∥c.这样,在 δ 内过 A 点有 m、n 都与 c 平行,与平面几何中过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾.故过平面外一点 A,有且只有一个平面与已知平面平行. 若该定义证明面面平行将比较麻烦,根据已有的“空间问题平面化”的经验,自然想到通过一个平面内的直线与另一个平面平行来得到两个平面无公共点,不过由于一个平面内的直线有无数条,我们难以对所有直线逐一检验,联想到“两条相交直线确定一个平面”,于是只要找到一个平面内的代表——相交的两条直线,证明它们与另一个平面平行,就可以说两个平面平行了,其平面的唯一性可通过反证法证明.
