3 幂函数互动课堂疏导引导一、幂函数的定义一般地,函数 y=xα叫做幂函数,其中,x 是自变量,α 是常数
疑难疏引1
我们只讨论 α 为有理数时的简单的幂函数
虽然 y=x、y=x 2是幂函数,但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x 2+1 都不是幂函数,它们并不满足幂函数的定义,但它们是与幂函数相关联的函数,它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的
幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同
掌握幂函数的关键一定要明确“形如 y=xα的函数”这句话的重要作用
幂函数的定义域比较复杂,应分类进行掌握:(1)当指数 n 是正整数时,定义域是 R
(2)当指数 n 是正分数时,设 n= (p、q 是互质的正整数,q>1),则 x n=x=
如果 q 是奇数,定义域是 R;如果 q 是偶数,定义域是［0,+∞)
(3)当指数 n 是负整数时,设 n=-k, x n=,显然 x 不能为零,所以定义域是{x|x∈R 且x≠0}
(4)当指数 n 是负分数时,设 n=-(p、q 是互质的正整数,q>1),则 x n= =
如果 q 是奇数,定义域是{x|x∈R,且 x≠0};如果 q 是偶数,定义域是(0,+∞)
幂函数与指数函数的区别:虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式,但二者的定义域不同,即指数函数 y=a x中,指数是自变量,而幂函数 y=xα中,底数是自变量
当然,由此可见,二者的对应关系和值域也不同
二、幂函数的图象和性质如图所示,幂函数有如下性质:1
所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都通过点(1,1);2
如果 a>0,则幂函数的图象通过原点并且在区间［0,+∞)上是增函数;3
如果 a0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数 y=x -2、y=x -3 及 y=
