2.3 幂函数互动课堂疏导引导一、幂函数的定义一般地,函数 y=xα叫做幂函数,其中,x 是自变量,α 是常数.疑难疏引1.我们只讨论 α 为有理数时的简单的幂函数.虽然 y=x、y=x 2是幂函数,但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x 2+1 都不是幂函数,它们并不满足幂函数的定义,但它们是与幂函数相关联的函数,它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的.幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同.掌握幂函数的关键一定要明确“形如 y=xα的函数”这句话的重要作用.2.幂函数的定义域比较复杂,应分类进行掌握:(1)当指数 n 是正整数时,定义域是 R.(2)当指数 n 是正分数时,设 n= (p、q 是互质的正整数,q>1),则 x n=x=.如果 q 是奇数,定义域是 R;如果 q 是偶数,定义域是［0,+∞).(3)当指数 n 是负整数时,设 n=-k, x n=,显然 x 不能为零,所以定义域是{x|x∈R 且x≠0}.(4)当指数 n 是负分数时,设 n=-(p、q 是互质的正整数,q>1),则 x n= =.如果 q 是奇数,定义域是{x|x∈R,且 x≠0};如果 q 是偶数,定义域是(0,+∞).3.幂函数与指数函数的区别:虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式,但二者的定义域不同,即指数函数 y=a x中,指数是自变量,而幂函数 y=xα中,底数是自变量.当然,由此可见,二者的对应关系和值域也不同.二、幂函数的图象和性质如图所示,幂函数有如下性质:1.所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都通过点(1,1);2.如果 a>0,则幂函数的图象通过原点并且在区间［0,+∞)上是增函数;3.如果 a<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向于原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴,当 x 趋于+∞时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴.疑难疏引研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数 y=x 2、y=x 3及 y=x的图象研究归纳y=xn(n>0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数 y=x -2、y=x -3 及 y=x-的图象研究归纳y=xn(n<0)的图象特征和函数性质.需要注意的有:(1)研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论.(2)对于幂函数 y=x n(n>0),我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即 n<0,01 三种情况下曲线的基本形状,还要注意 n=0,±1 三个曲线的形状;对于幂函数...
