2.3 幂函数课堂探究探究一幂函数的概念形如 y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为 1；(2)指数为常数；(3)后面不加任何项．例如 y＝3x，y＝xx＋1，y＝x2＋1 等均不是幂函数，另外还要注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．【典型例题 1】 函数 f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当 x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定 m 的值．思路分析：由已知 f(x)＝(m2－m－5)·xm－1是幂函数，且当 x>0 时是增函数，可先利用幂函数的定义求 m 的值，再利用单调性确定 m 的值．解：根据幂函数的定义，得 m2－m－5＝1，解得 m＝3 或 m＝－2，当 m＝3 时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；当 m＝－2 时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故 m＝3.探究二幂函数性质的应用比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象来比较．【典型例题 2】 比较下列各组数中两个数的大小：(1) 与； (2) 与；(3) 与.思路分析：(1)利用的单调性比较大小；(2)利用 y＝x－1 的单调性比较大小；(3)利用中间量比较大小．解：(1) 幂函数在[0，＋∞)上是增函数，又>，∴>.(2) 幂函数 y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，又－<－，∴>.(3) 函数为减函数，且>，∴>.又 函数在[0，＋∞)上是增函数，且>，∴>.∴>.探究三 根据幂函数的性质求解析式【典型例题 3】 已知幂函数 f(x)＝x3m－9(m∈N*)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随 x 的增大而减小，求 f(x)．思路分析：由 f(x)在(0，＋∞)上单调递减求出 m 的范围，再根据 m∈N*且图象关于 y轴对称，确定 m 的值，进而写出 f(x)．解： 函数在(0，＋∞)上单调递减，∴3m－9<0，解得 m<3.又 m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象关于 y 轴对称，∴3m－9 为偶数，故 m＝1，∴f(x)＝x3×1－9＝x－6.探究四 易错辨析易错点 因对幂函数的单调性理解不全面而造成错解【典型例题 4】 若(a＋1)－1<(3－2a)－1，求实数 a 的取值范围．错解：考察幂函数 f(x)＝x－1.因为该函数为减函数，所以由(a＋1)－1<(3－2a)－1，得 a＋1>3－2a，解得 a>.故实数 a 的取值范围是.正解：考察幂函数 f(x)＝x－1，由于该函数在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为减函...
