2.4 函数与方程自主整理1.函数零点(1)概念一般地,如果函数 y=f(x)在实数 a 处的值等于零,即 f(a)=0,则 a 叫做这个函数的零点.(2)意义方程 f(x)=0 有实数根函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有交点 函数 y=f(x) 有零点 .(3)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的零点① 当 Δ>０时,方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点;② 当 Δ= ０ 时,方程 ax2+bx+c=0 有两个相等实根(二重根),二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点;③ 当 Δ<０时,方程 ax2+bx+c=0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.(4)变号零点与不变号零点若函数 f(x) 的图象在 x=x 0 处与 x 轴相交 ,则零点 x0通常称为变号零点;若函数 f(x) 的图象在 x=x 0 处与 x 轴相切 ,则零点 x0通常称为不变号零点.(5)零点的性质① 当函数的图象通过零点时(不是二重零点),函数值变号;② 相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.2.求函数零点近似解的一种计算方法——二分法(1)定义对于在区间［a,b］上连续不断,且满足 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.注:用二分法的条件 f(a)·f(b)<0 表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.(2)用二分法求函数零点的一般步骤已知函数 y=f(x)定义在区间 D 上,求它在 D 上的一个变号零点 x0的近似值 x,使它与零点的误差不超过正数 ε,即使得|x-x0|≤ε,一般步骤为:① 在区间 D 上确定区间［a,b］D,使 f(a)·f(b)<0;② 求区间［a,b］的中点 x1;③ 计算 f(x1),若 f(x1)=0,则 x1 就是函数的零点;若 f(a)·f(x1)<0,则令 b=x1〔此时零点 x0∈(a,x1)〕;若 f(b)·f(x1)<0,则令 a=x1〔此时零点 x0∈(x1,b)〕.④ 判断是否达到精确度 ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复②到④.高手笔记1.虽然有的函数在区间上不连续,但它可能有零点存在;有的函数在区间上是连续的,也不存在零点;如f(x)=与 y=1,x∈R.2.如果函数 y=f(x)在［a,b］上的图象是连续不断的曲线,且 x 是函数在这个区间上的一个零点,却不一定有 f(a)·f(b)<0.3.函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.求函数的零点就是求相应的方程的根,一般可以借助求根公式或因式分解等办法求...
