高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第一课时 等比数列学案（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案

第一课时 等 比 数 列等比数列的定义[提出问题]观察下面几个数列：(1)4，－4,4，－4，…；(2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的 2 倍，且共有 64 个格子，各个格子里的麦粒数依次是 1,2,22,23，…，263；(3)某人年初投资 10 000 元，如果年收益率是 5%，那么按照复利，5 年内各年末的本利和依次为 10 000×1.05,10 000×1.052，…，10 000×1.055.问题 1：上述三个例子中的数列，它们是等差数列吗？提示：不是．问题 2：这三个数列，从第 2 项起与前一项的比有什么特点？提示：都等于同一个常数．[导入新知]等比数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q(q≠0)表示．[化解疑难]1．“从第 2 项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；2．“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；3．“同一常数 q”，q 是等比数列的公比，即 q＝或 q＝.特别注意，q 不可以为零，当q＝1 时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．等比中项[提出问题]问题：观察“知识点一”中的三个数列，每个数列中任意连续三项间有何关系？提示：中间一项的平方等于它前一项与后一项之积．[导入新知]如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a，b 的等比中项，这三个数满足关系式 G＝±.[化解疑难]1．G 是 a 与 b 的等比中项，则 a 与 b 的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．G＝±，即等比中项有两个，且互为相反数．2．当 G2＝ab 时，G 不一定是 a 与 b 的等比中项．例如 02＝5×0，但 0,0,5 不是等比数列.等比数列的通项公式[提出问题]问题：若数列{an}为等比数列，公比为 q，则 a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，由此你可以得出什么结论呢？提示：an＝a1qn－1.[导入新知]等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q(q≠0)，则通项公式为 an＝a1q n － 1 .[化解疑难]1．在已知首项 a1和公比 q 的前提下，利用通项公式 an＝a1qn－1可求出等比数列中的任一项．2．等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1可改写为 an＝·qn.当 q＞0 且 q≠1 时，这是指数型函数．等比数列的通项公式[例 1] 在等比数列{an}中：(1)a4＝2，a7＝8，求 an；...