高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.2 抛物线的简单几何性质学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案VIP专享

2.4.2 抛物线的简单几何性质学习目标：1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点准线x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry ≥0 ， x∈Ry ≤0 ， x∈R对称轴x 轴 y 轴 顶点(0,0)离心率e＝12.焦点弦直线过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F，与抛物线交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋ x 2＋ p .3．直线与抛物线的位置关系直线 y＝kx＋b 与抛物线 y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于 x 的方程组解的个数，即二次方程 k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 解的个数．当 k≠0 时，若 Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若 Δ＝0 时，直线与抛物线有一个公共点；若 Δ<0 时，直线与抛物线没有公共点．当 k＝0 时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．[基础自测]1．思考辨析(1)抛物线关于顶点对称．( )(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( )(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若 x1＋x2＝6，则|AB|＝( )A．10 B．8C．6D．4B [|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]3．已知过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，|AF|＝2，则|BF|＝________. 【导学号：46342111】2 [F(1,0)，由抛物线定义得 A 点横坐标为 1.∴AF⊥x 轴，∴|BF|＝|AF|＝2.][合 作 探 究·攻 重 难]抛物线几何性质的应用 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴且与圆 x2＋y2＝4 相交的公共弦长等于 2，则抛物线的方程为________．(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线 y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为 2，△AOB 的面积为，求抛物线的标准方程．[解] (1)根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，...