高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 直线与圆锥曲线课堂探究学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

2.5 直线与圆锥曲线课堂探究探究一 直线与圆锥曲线的位置关系判断判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，可将直线 l 的方程代入曲线 C 的方程，消去y(或 x)得一个关于变量 x(或 y)的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0.(1)当 a≠0 时，若 Δ＞0，则直线 l 与曲线 C 相交；若 Δ＝0，则直线 l 与曲线 C 相切；若Δ＜0，则直线 l 与曲线 C 相离．(2)当 a＝0 时，即得到一个一次方程，则 l 与 C 相交，且只有一个交点．此时，若 C 为双曲线，则 l 平行于双曲线的渐近线；若 C 为抛物线，则 l 平行于抛物线的对称轴．(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交．【典型例题 1】 已知直线 l：kx－y＋2－k＝0，双曲线 C：x2－4y2＝4，当 k 为何值时，(1)l 与 C 无公共点；(2)l 与 C 有唯一公共点；(3)l 与 C 有两个不同的公共点．思路分析：直线与圆锥曲线的公共点的个数，就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数．因此本题可转化为方程组解的个数的判定，从而确定参数的取值．解：(1)将直线方程与双曲线方程联立，消去 y 得(1－4k2)x2－8k(2－k)x－4(k2－4k＋5)＝0.①要使 l 与 C 无公共点，即方程①无实数解，则有 1－4k2≠0，且 Δ＜0，即64k2(2－k)2＋16(1－4k2)(k2－4k＋5)＜0.解得 k＞或 k＜，故当 k＞或 k＜时，l 与 C 无公共点．(2)当 1－4k2＝0，即 k＝±时，方程①只有一解；当 1－4k2≠0，且 Δ＝0，即 k＝时，方程①只有一解，故当 k＝±或 k＝时，l 与 C 有唯一公共点．(3)当 1－4k2≠0，且 Δ＞0 时，方程①有两个不同的解，即 l 与 C 有两个不同的公共点，于是可得，当＜k＜，且 k≠±时，l 与 C 有两个不同的公共点．探究二 相交弦长问题若直线 l 与圆锥曲线 F(x，y)＝0 相交于 A，B 两点，求弦 AB 的长可用下列两种方法：(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点 A，B 的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦 AB 的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)不求交点坐标，可用一元二次方程根与系数的关系求解．设直线方程为 y＝kx＋m，与圆锥曲线 F(x，y)＝0 交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝＝·；或当 k≠0 时，|AB|＝|y1－y2|＝·.当 k＝0 时，直线平行于 x 轴，∴|AB|＝|x1－x2|.【典型例题 2】 已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在...