2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一 双曲线的定义思考 若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点 F1，F2上，把笔尖放在点 M 处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线.梳理 (1)平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支.(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段 F 1F2 的中垂线.知识点二 双曲线的标准方程思考 1 双曲线的标准方程的推导过程是什么？答案 (1)建系：以直线 F1F2为 x 轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系.(2)设点：设 M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为 F1(－c，0)，F2(c，0).(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，可得－＝±2a.①(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2).令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0).②(5)检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c，0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线的标准方程.(此步骤可省略)思考 2 双曲线中 a，b，c 的关系如何？与椭圆中 a，b，c 的关系有何不同？答案 双曲线标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里 b2＝c2－a2，即 c2＝a2＋b2，其中 c>a，c>b，a 与 b 的大小关系不确定；而在椭圆中 b2＝a2－c2，即 a2＝b2＋c2，其中 a>b>0，a>c，c 与 b 大小不确定.梳理 (1)两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x 轴y 轴标准方程－＝ 1( a >0 ， b >0) －...
