2.3.1 双曲线及其标准方程自主预习·探新知情景引入 通过前面的学习，我们已经知道，平面内与两个定点距离之和为常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆．如果我们把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹还存在吗？如果存在，点的轨迹又是什么呢？它的方程又是怎样的呢？新知导学 1．双曲线的定义(1)在平面内到两个定点 F1、F2距离之__差__的绝对值等于定值 2a(大于 0 且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点之间的距离叫做双曲线的__焦距__.(2)定义中为何强调“绝对值”和“0<2a<|F1F2|”．① 在双曲线的定义中，条件 0<2a<|F1F2|不应忽视，若 2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是__两条射线__；若 2a>|F1F2|，则动点的轨迹是__不存在__.② 双曲线定义中应注意关键词“__绝对值__”，若去掉定义中“__绝对值__”三个字，动点轨迹只能是__双曲线的一支__.2．双曲线方程焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为__－＝ 1( a >0 ， b >0) __，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为__－＝ 1( a >0 ， b >0) __.其中在双曲线的标准方程中 a、b、c 的关系为__a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 __.3．椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系椭圆双曲线定义|MF1|＋|MF2|＝2a定义|MF1|－|MF2|＝±2a因为 a>c>0，所以令 a2－c2＝b2(b>0)因为 0
0)＋＝1 或＋＝1(a>b>0)－＝1 或－＝1(a>0，b>0，a 不一定大于 b)预习自测 1．双曲线 x2－＝1 的焦点坐标是( B )A．(0，±2) B．(±2,0)C．(0，±) D．(±，0)2．已知两定点 F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点 P 的轨迹中，是双曲线的是( A )A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0[解析] A 中， |F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点 p 的轨迹是双曲线；B中， ||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点 P 的轨迹是以 F1或 F2为端点的射线(含端点)；C 中， ||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点 P 的轨迹不存在；D 中， ||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点 P 的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线，故选 A．3．双曲线－＝1 的焦距为( D )A．3 B．4C．3 D．4[解析] c＝＝＝2，焦距 2c＝4.4．(2019－2020 学年辽宁葫芦岛协作校考试)若方程＋＝1 表示焦点在 x 轴上的...
