高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式举例导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

4.2 用数学归纳法证明不等式举例学习目标1.理解数学归纳法证明不等式的基本思路．2．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)n>1＋nx(x>－1，x≠0，n 为大于 1 的自然数)．3．了解 n 为实数时贝努利不等式也成立.一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究思考探究 在应用贝努利不等式时应注意什么？名师点拨：1.对贝努利(Bernoulli)不等式的理解当指数 n 推广到任意实数 α 时，x>－1 时，① 若 0<α<1，则(1＋x)α≤1＋αx.② 若 α<0 或 α>1，则(1＋x)α≥1＋αx.当且仅当 x＝0 时等号成立．2．贝努利不等式的应用贝努利不等式：如果 x 是实数，且 x>－1，x≠0，n 为大于 1 的自然数，那么有(1＋x)n>1＋nx.推论：当 x 是实数，且 x>－1，x≠0，n 为不小于 2 的正整数时，有 n>1－.3．数学归纳法与其他方法的联系数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用来证明与正整数有关的不等式，其他证明不等式的方法运用比较广泛，但在具体应用时，各自又有具体的要求，如反证法，必须有严格的格式(以否定结论入手，推出矛盾)，分析法也有独特的表达格式，而数学归纳法必须分两步且在第二步中，要从假设出发推证 n＝k＋1 命题正确时，也经常用到综合法、分析法、比较法、放缩法等．4．用数学归纳法证明不等式时常用技巧用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，要注意初始值 n0的定位，要弄清楚 n＝k 和n＝k＋1 时的结论是什么，要有目标意识，紧盯 n＝k＋1 时的目标，对 n＝k＋1 时的结论进行一系列的变化，变化的目标就是 n＝k＋1 时的结论形式，这种变化就是“凑假设，奔结论”．常用放缩法做辅助手段．【例 1】 求证：＋＋＋…＋>(n≥2，n∈N)．【变式训练 1】 用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N)．【例 2】 求证：当 n≥1(n∈N)时，(1＋2＋…＋n)≥n2.【变式训练 2】 求证：1＋＋＋…＋≥(n∈N＋)【例 3】 已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145.(1)求数列{bn}的通项公式 bn；(2)设数列{an}的通项 an＝loga，(其中 a>0，且 a≠1)，记 Sn为数列{an}的前 n 项和，试比较Sn与 logabn＋1的大小，并证明你的结论．【变式训练 3】 在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且 an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)(1)求 a2，a3，a4及 b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证...