高中数学 第四章 导数应用 1.2 函数的极值学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案

1.2 函数的极值学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一 函数极值的概念函数 y＝f(x)的图像如图所示．思考 1 函数在点 x＝a 的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？ 思考 2 f′(a)为多少？在点 x＝a 附近，函数的导数的符号有什么规律？ 思考 3 函数在 x＝b 点处的情况呢？ 梳理 (1)如图 1，在包含 x0的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于 x0点的函数值，称点 x0为函数 y＝f(x)的极大值点，其函数值 f(x0)为函数的极大值．(2)如图 2，在包含 x0的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点 x0为函数 y＝f(x)的极小值点，其函数值 f(x0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．知识点二 求函数 y＝f(x)的极值的步骤1．求出导数 f′(x)．12．解方程 f′(x)＝0.3．对于方程 f′(x)＝0 的每一个解 x0，分析 f′(x)在 x0左、右两侧的符号(即 f(x)的单调性)，确定极值点：(1)若 f′(x)在 x0两侧的符号为“左正右负”，则 x0为极大值点；(2)若 f′(x)在 x0两侧的符号为“左负右正”，则 x0为极小值点；(3)若 f′(x)在 x0两侧的符号相同，则 x0不是极值点．类型一 判断与求解极值(点)例 1 判断下列函数有无极值，如果有极值，请求出极值；如果无极值，请说明理由．(1)f(x)＝x3＋4；(2)f(x)＝x3＋x2＋4x. 反思与感悟 (1)导数值为 0 的点不一定是函数的极值点，函数在某点的导数值为 0 是取得极值的必要条件，而不是充分条件．(2)求可导函数 f(x)的极值的步骤① 确定函数的定义域，求导数 f′(x)；② 求 f(x)的拐点，即求方程 f′(x)＝0 的根；③ 利用 f′(x)与 f(x)随 x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．特别提醒：在判断 f′(x)的符号时，借助图像也可判断 f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．跟踪训练 1 求下列函数的极值：(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；(2)f(x)＝＋3ln x. 类型二 已知函数极值求参数2例 2 已知函数 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2 在 x＝－1 处有极值 0，则 a＝________，b＝________.引申探究1．本例的其他条件不变，如果直线 y＝k 与函数图像有三个交点，求 k 的取值范围...