第三节 圆的切线的性质及判定定理课堂导学三点剖析一、切线的性质【例 1】 如图 2-3-1,两圆为以 O 为圆心的同心圆,大圆的弦 AB 是小圆的切线,C 为切点.求证:C 是 AB 的中点.图 2-3-1证明：连结 OA、OC、OB,∵OA=OB,∴△OAB 是等腰三角形.又∵AC 是小圆切线,C 是切点,∴OC⊥AB,即 OC 是等腰三角形底边上的高.∴OC 是 AB 边上的中线.∴C 是 AB 的中点.温馨提示 连结圆心、切点是解决切线问题时常用的作辅助线的方法之一.二、切线的判定【例 2】 如图 2-3-4,AB 是⊙O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上,BD=OB,点 C 在圆上,∠CAB＝30°.求证:DC 是⊙O 的切线.图 2-3-4证明：连结 OC、BC,∵OA=OC,∴∠CAB=∠ACO.∴∠BOC=∠CAB+∠ACO=60°.∵OB=OC,∴△OBC 是等边三角形.∵BD=OB,∴BD=BC.∴∠D=∠BCD.∵∠OBC=∠D+∠BCD,∴∠BCD＝ 21 ∠OBC=30°.∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°.∴DC 是⊙O 的切线.三、切线的性质与判定的综合运用【例 3】 如图 2-3-6,直角梯形 ABCD 中,以 CD 为直径的圆恰好与腰 AB 相切.1求证:以 AB 为直径的圆也与腰 CD 相切.图 2-3-6思路分析：取 CD、AB 中点 O1、O2,则 O1、O2分别是两圆圆心,只需证 O2到 CD 距离等于 O2A 或 O2B即可.证明:连结 O1O2,作 O2E⊥O1D 于 E,DF⊥O1O2于 F.∵O1C=O1D,O2B=O2A,∴O1O2∥AD∥BC.∴AB⊥O1O2.∴DF=AO2.∵AB 与⊙O1相切,∴O1O2=O1D.∴△O1O2E≌△O1DF.∴O2E=DF.∴O2E=O2A.∴⊙O2与 CD 相切于 E 点.各个击破类题演练 1如图 2-3-2,两个同心圆⊙O,大圆的弦 AB 和 AC 分别和小圆相切于点 D 和 E.求证:DE21 BC.图 2-3-2证明:连结 OD、OE,∵AB 切小圆于 D,∴OD⊥AB.∴AD=BD.同理,AE=EC.∴DE 是△ABC 的中位线.∴DE21 BC.变式提升 1求证:一圆的两条平行切线的切点连线经过圆心.图 2-3-3答案:已知:如图 l1、l2分别切⊙O 于 A、B,l1∥l2,求证:O 在 AB 上.证明:连结 OA,并延长交 l2于 B′,∵l1切⊙O 于点 A,∴OA⊥l1.又∵l1∥l2,∴OA⊥l2,即 OB′⊥l2.∴B 为 l2与⊙O 的切点.∴OB⊥l2.2但过 O 只有一条直线与 l2垂直.∴B′与 B 重合.即 A、O、B 在一条直线上,或 AB 经过点 O.类题演练 2如图 2-3-5,已知以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径,作⊙O 与斜边 AC 交于点 D,E 为 BC 边上的中点,连结 DE.求证:DE 是⊙O 的切线.图 2-3-5证明:连结 OD、BD.∵AB 是⊙O 直径,∴∠ADB=90°.∴∠CDB=90°.∵E 是 BC 中点,∴CE=EB=DE.∴∠1=∠2.∵OB=OD,∴∠3=∠4.∴∠1+∠4=∠2+∠3.∵在 Rt△ABC 中,∠ABC=∠2+∠3=90°,∴∠EDO=∠1+∠4=90°.∵D 为⊙O 上的点,∴DE 是⊙O 的切线.类题演练 3如图 2-3-7,已知 OC 平分∠AOB,D 是 OC 上任意一点,⊙D 与 OA 相切于点 E.求证:OB 与⊙D 相切.图 2-3-7证明:连结 DE,过 D 作 DF⊥OB,垂足为 F. OB 与⊙D 相切于点 F.3
